读书 | 《费马大定理》

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摘要

本书全称《费马大定理：一个困惑了世间智者 358 年的谜》，尽管书围绕着费马大定理的前世今生展开，但对于数学史上其它重要内容也或多或少涉猎（如：毕达哥拉斯学派、前几次数学危机、哥德巴赫猜想、不完全性定理、密码学、拓扑学等）囊括了大部分数学史 / 数论史，十分值得一读。最后，作者还列举了一批重要的未解决的数学问题。

《费马大定理：一个困惑了世间智者 358 年的谜》

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1. 费马大定理的前世今生

• 丢番图 (Diophantus) 的《算术》重见天日；
• 伟大的业余数学家费马 (Pierre de Fermat) 在《算术》中关于毕达哥拉斯定理附近提出了费马大定理，附带那句有名的该死的批注——

Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet.

• 欧拉证明了 n = 3, 4 时的费马大定理；
• 女数学家索菲娅 · 热尔曼证明了 x, y, z 与 n 互质时，n < 100 的所有质数的费马大定理；
• 拉梅证明了 n = 7 时的费马大定理；
• 法尔廷斯证明了，即使费马大定理不成立，互质解仍是有限的；
• 谷山-志村猜想提出：椭圆方程的 E-序列与模形式的 M-序列的相似性；
• 弗雷假设：构造一条基于费马大定理的椭圆曲线，通过证明谷山-志村猜想即可证明费马大定理；
• 里贝在梅休尔的启发下，证明了弗雷假设；
• 怀尔斯独自工作 7 年，使用岩泽健吉理论和科瓦列金-弗莱切方法证明了谷山-志村猜想，从而证明了费马大定理；

2. 重要的未解决的数学问题

包括但不限于——

• 完美数都是偶数的证明？
• 完美数是否有无穷个？
• 质数分布的模式？
• 孪生质数猜想的证明？
• 哥德巴赫猜想的证明？
• 面心立体堆叠是空间球填装的最优解的证明？
• 四色猜想的逻辑证明？

3. 数学家都追求严谨的逻辑

一个天文学家、一个物理学家和一个数学家（据说）正在苏格兰度假。当他们从火车车厢的窗口向外瞭望时，观察到田地中央有一只黑色的羊。「多么有趣，」天文学家评论道，「所有的苏格兰羊都是黑色的！」物理学家对此反驳说：「不，不！某些苏格兰羊是黑色的！」数学家祈求地凝视着天空，然后吟诵起来：「在苏格兰至少存在着一块田地，至少有一只羊，这只羊至少有一侧是黑色的。」

4. 其它一些感悟

数论是一门实际应用可能并不丰富，但很能锤炼心性的数学分支。

无论是本书所述的已于 1993 年被怀尔斯证明了的费马大定理，还是有名的哥德巴赫猜想，这两个数论界有名的问题，其描述都是三年级小学生就能听懂的，但其证明却需要不世出的天才。这也许也正是数论的趣味和魅力所在。

我是热爱数学的。从四五年级开始，我就喜欢捣鼓奥数题。我至今都记得，小学五年级，我独自发现了平方差公式——

1. 起先发现了，9² - 8² = 17 = 9 + 8，8² - 7² = 15 = 8 + 7，7² - 6² = 13 = 7 + 6……似乎相差 1 的两个数字的平方差就是它们的和；
2. 而相差不止 1 的平方差，乍看之下并无规律了，9² - 7² = 32 ≠ 9 + 7，8² - 6² = 28 ≠ 8 + 6……
3. 但经过更多次的训练和演算，再增加一个参数，把两个平方根的和再乘以它们的差，就又成立了，这回还更普适了：9² - 7² = 32 = (9 + 7) × (9 - 7)，8² - 6² = 28 = (8 + 6) × (8 - 6)……
4. a² - b² = (a + b) × (a - b)；

当我总结、抽象出这个公式的瞬间，我是信心爆满并自我感觉处在世界之巅的。然而，五、六年级的习题，大多是应用题型，不需要证明或者推导，计算也并不太复杂、平方相关不多，我能应用到这个 EncyKe's Difference of Squares Formula 的地方并不多。

而更致命的打击来自，到了初中，平方差公式就在课本上「完美地」出现了。（啊！我的 EncyKe's Difference of Squares Formula！）也是，数千年的数学学科发展，平方差公式绝对轮不到一个生于 1993 年的家伙来发现，不然，智人也太弱了。

我还是继续在数学和理科的世界里畅游。也是在那时，初二，我买了一本书，《力量：改变人类文明的 50 大科学定理》。这是一本有趣的科学入门书籍，囊括了数理化相关的有名的实用的公式、结论，及其背后的名人轶事。这本书是我的理科启蒙，应该说，大学会选择化学这一基础学科，多少有这本书带给我的影响。

我还曾不知天高地厚的企图「着手」哥德巴赫猜想的证明。必须承认，当读到哥德巴赫猜想那么简洁易懂的描述，任何有好奇心并且有点自信的人都会跃跃欲试的。到了高中，课业繁重了，我也放弃了这些小小的对于数论的爱好了，当时那对充满幼稚演算的稿纸，现在还留在了老家。

据说，马克思休息时会做数学题，我表示能理解。大学也好、工作也罢，尽管跟数学有关的成分并不多了，我还是会找一些奇奇怪怪的数学或逻辑相关的题目来练手。现在因为学会编程语言，解题也更多了一个维度和层次了。

妙哉，数学；妙哉，数论。

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附：参考

• [英]西蒙·辛格. 费马大定理：一个困惑了世间智者 358 年的谜[M]. 广西: 广西师范大学出版社. 2013.
• 李啸虎, 田廷彦, 马丁玲. 力量：改变人类文明的 50 大科学定理[M]. 上海: 上海文化出版社. 2005.