0x03 前缀和与差分

前缀和

【例题】BZOJ1218 激光炸弹

计算二位前缀和，再利用容斥原理计算出答案即可。

 1 #include 
 2 #include 
 3 #include 
 4 #include 
 5 using namespace std;
 6 const int maxn=5000+10;
 7 int n, r, sum[maxn][maxn];
 8 
 9 int main() {
10     scanf("%d%d", &n, &r);
11     int x, y, v, maxx=0, maxy=0;
12     maxx=maxy=r;
13     for (int i=1; i<=n; ++i) {
14         scanf("%d%d%d", &x, &y, &v);
15         ++x; ++y;
16         maxx=max(maxx, x); maxy=max(maxy, y);
17         sum[x][y]=v;
18     }
19     for (int i=1; i<=maxx; ++i) {
20         for (int j=1; j<=maxy; ++j) {
21             sum[i][j]+=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1];
22         }
23     }
24     //枚举面积为r的正方形
25     int ans=0;
26     for (int i=r; i<=maxx; ++i) {
27         for (int j=r; j<=maxy; ++j) {
28             ans=max(ans, sum[i][j]-sum[i-r][j]-sum[i][j-r]+sum[i-r][j-r]);
29         }
30     } 
31     printf("%d\n", ans);
32     return 0;
33 }

差分

【例题】CH0304 IncDec Sequence

求出序列a的差分序列b，令b_n+1=0，目标是将把b₂,b₃...b_n变为全0。

把序列a区间[l,r]加d，其差分序列的变化为B_l加d,B_r+1减d。

从b₁,b₂...b_n中任选两个数的方法可以分为4类：

1.选b_i和b_j

2.选b₁和b_j

3.选b_i和b_n+1

4.选b₁和b_n+1,这种选法没有意义

设整数总和为p，负数总和为q，首先以正负数匹配的方式尽量选择操作1，可执行min(p,q)次。

剩余|p-q|个未配对，执行操作2和操作3，共需|p-q|次。

所以最少操作次数为min(p,q)+|p-q|=max(p,q)次，根据操作2,3的选择情况，能产生|p-q|+1种b₁的值，即序列a可能有|p-q|+1种。

 1 #include 
 2 #include 
 3 #include 
 4 #include 
 5 #include 
 6 using namespace std;
 7 const int maxn=100000+10;
 8 long long n, a[maxn], s[maxn], p=0, q=0;
 9 
10 int main() {
11     scanf("%lld", &n);
12     for (int i=1; i<=n; ++i)
13         scanf("%lld", &a[i]);
14     s[1]=a[1]; s[n+1]=0;
15     for (int i=2; i<=n; ++i) {
16         s[i]=a[i]-a[i-1];
17     }
18     for (int i=2; i<=n; ++i) {
19         if (s[i]>0) p+=s[i];
20         else if (s[i]<0) q-=s[i];
21     }
22     printf("%lld\n%lld\n", max(p,q), abs(p-q)+1);
23     return 0;
24 }

【例题】POJ3263 Tallest Cow

若有一条关系指明A_i和B_i可以互相看见，就将他们数组中A_i+1到B_i-1的数减去1，最终得到所有牛与最高的牛p的相对身高关系。

 1 #include 
 2 #include 
 3 #include 
 4 #include 
 5 #include 
 6 #include