EPI_PrimitiveTypes_No.003_ComputeX*Y

问题简述

写一个程序来实现两个非负整数的除法,只允许以下操作:

  1. 赋值
  2. 位操作,例如>>,<<,&,|,^,~
  3. 逻辑判断

思路阐述

这道题的意思就是用位操作来实现乘法。
暴力破解的思路就是重复加一个数字,例如3x5就是5个3相加,但是这样做的复杂度太高——O(2^n),其中n为输入的比特数。
一个更合适的方法是利用加法操作和位移操作结合来实现乘法。3x5=0b11*0b101=(0b10*0b101) + (0b1*0b101)= 0b101<<1+0b101<<0.
具体操作,就是把乘数的每一位抽出来,然后如果是1,被乘数做对应位移,然后再加到和上。
这里可以思考,能不能只抽1?看上去,如果只抽1的话,当乘数0比较多的时候效率更高,但其实从最坏情况来说,只抽1的复杂度和每一位都抽取是一样的,而且这样抽取出来还得判断要位移多少位,相对而言一位位地位移更简单,因为位移多少位一直都是知道的。
此外,还需要实现一个加法,这个主要用进位实现,一位一位加,没什么太好说的。

public static long multiply(long x, long y) {
    long sum = 0;
    while (x != 0) {
        // Examines each bit of x.
        if ((x & 1) != 0) {
            sum = add(sum , y);
        } 
        x >>>= 1;
        y <<= 1 ;
    }
    return sum;
}

private static long add(long a, long b) {
    long sum = 0, carryin = 0, k = 1, tempA = a, tempB = b;
    while (tempA != 0 | | tempB != 0) {
        long ak = a & k, bk = b & k ;
        long carryout = (ak & bk) | (ak & carryin)|(bk & carryin);
        sum |= (ak ^ bk ^ carryin);
        carryin = carryout << 1;
        k <<= 1 ;
        tempA >>>= 1 ;
        tempB >>>= 1 ;
    }
    return sum|carryin;
}

加法的时间复杂度是O(n),n是操作数的宽度。乘法的时间复杂度是O(n^2)。

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