Codeforces 1237E. Balanced Binary Search Trees

传送门

这一题是真的坑人,时间空间都在鼓励你用 $NTT$ 优化 $dp$...(但是我并不会 $NTT$)

看到题目然后考虑树形 $dp$ ,设 $f[i][0/1]$ 表示 $i$ 个节点的树,根节点为奇数/偶数的方案数

然后发现对于 $f[i][0/1]$ 的所有方案,把节点编号同时加一个偶数后根节点奇偶性不变,把节点编号加一个奇数后根节点的奇偶性变了

那么就可以对每个 $f[i][0/1]$ 枚举左右子树转移了,因为确定总点数所以左子树点数就有一个范围,在那个范围内枚举子树大小 $j$ 

那么有转移 $f[i][0]=\sum f[j][1] \cdot f[i-j-1][1]$ ,$f[i][1]=\sum f[j][0] \cdot f[i-j-1][1]$

然后发现转移是卷积的形式,然后据说就可以 $NTT$ 优化什么的...但是我完全不会诶

然后推完发现并没有什么用就去看看神仙的提交记录(比赛的时候是可以看别人的提交结果的)

Codeforces 1237E. Balanced Binary Search Trees_第1张图片

 然后你感到一丝不妙,那些人怎么都是几十毫秒过的???再看看空间发现有些人甚至 $0kb$ ???

 

 于是你赶紧把暴力打完把表打出来,发现大部分状态都是 $0$ ,只有少部分的结果是 $1$

然后你再输出一下方案为 $1$ 的各种状态,发现只有当节点数为 $1,2,4,5,9,10,20,21,41,42,84,85...$

然后就发现了规律,然后你就成功通过了这一题(当然那时我并没有过)

所以现在考虑一下怎么去证明这个东西,首先对于 $3$ 层的这种树只有当点数为 $4,5$ 时可以发现有唯一一种方案

首先显然的,对于这种树的根节点,它的左右儿子子树也必须是这种树

然后注意到对于 $n$ 个节点的这种树,根节点和 $n$ 号节点奇偶性相同(因为二叉搜索树的性质,$n$ 号节点必须是最右边的)

所以根节点的右子树的子树大小必定为偶数

然后又因为左右子树的深度必须一样,所以比 $4,5$ 个节点的这种树 多一层的这种树,它的左右儿子必须是 $4$ 或 $5$ 个节点

又因为之前证明的右儿子必须为偶数,那么多一层的这种树只有左儿子为 $4$ 右儿子为 $4$ ,和左儿子为 $5$ 右儿子为 $4$ 两种方案

那么每一层都只能靠少一层的那两种子树得到新的那两种树,所以证明完毕

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
    while(ch>='0'&&ch<='9') { x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); }
    return x*f;
}
const int N=1e6+7;
int n;
int main()
{
    n=read();
    int now=1;
    while(now<=n)
    {
        if(now==n || now+1==n) { printf("1\n"); return 0; }
        if(now&1) now=(now+1)+1+now;
        else now=now+1+now;
    }
    printf("0\n");
    return 0;
}

 

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