LeetCode笔记：96. Unique Binary Search Trees

问题：

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?
For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

image.png

大意：

给出n，包含1~n这些节点可以形成多少个不同的BST（二叉查找树）？
比如，
给出n = 3，有5个不同的BST：

image.png

思路：

二叉查找树的性质是左子节点一定小于父节点，右子节点一定大于父节点。

我们思考一下可以发现，要形成不同的二叉树，最基本的分类是1_{n各自都做一次根节点。在它们作为根节点时，又分别还有多少种不同的组合方式呢？由于这是一个二叉查找树，那么根节点的左边一定都是小于他的数，右边一定都是大于它的数，所以1}n就会被分成两部分去放置，这时候由可以分别把左子节点、右子节点分别看成要安放一部分数字的根节点，又变成了一样的规律。

所以假设以i为根节点，可能的组合情况为F（i，n），而G（n）为输入n后的结果。则

F（i，n） = G（i-1）*G（n-i）

也就是左子节点以下的可能数量乘以右子节点以下的可能数量。

而因为1~n都可能作为根节点，所以最终的值是它们的和，也就是

G（n） = F（1，n） + Ｆ（２，ｎ）　＋　……　＋Ｆ（ｎ，ｎ）

换算一下就是

Ｇ（ｎ）　＝　Ｇ（０） * G（n-1） + G（1） * G（n-2） ＋ …… ＋ G（n-1） *Ｇ（０）

其中我们可以直接看出　Ｇ（０）　＝　Ｇ（１）　＝　１。这个作为初始值来递归计算就可以了，要知道G（n），我们必须把前面的数都计算出来。

代码（Java）：

public class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] res = new int[n+1];
        res[0] = 1;
        res[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                res[i] += res[j-1] * res[i-j];
            }
        }
        return res[n];
    }
}

合集：https://github.com/Cloudox/LeetCode-Record

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