[ai-002] 卡方检验是什么

先用一个例子解释卡方。

一个硬币，正面是字，反面是花。抛20次，有11次是字，9次是花。根据这个抛出结果，可否假设抛一次硬币出现字和花的概率都是50%？验证这个假设，就是卡方检验。

期望次数：假如认为子和花出现概率都是50%抛出的理论次数。本例中，抛20次，如果字和花出现的概率相同，那么它们的期望次数都10。

我们可以把观察次数和期望次数放到下表。

	观察次数	期望次数	合计
字	11	10	21
花	9	10	19
合计	20	20	40

从直觉来说，如果观察次数和期望次数是一样的，假设是合理的。如果观察次数和期望次数差别比较大，则假设是不合理的。由此，设计一个衡量观察次数和期望次数之间差异的值。又考虑到，如果抛硬币次数不是10，是100次，会被影响，因此需要去掉次数的影响，也就是分别除以字和花的期望次数，本例这两个值都是10，即。

又考虑到，如果这不是一个硬币，是一个骰子，那么表格就会增加4行，由此导致变化，也需要去掉这个因素的影响，这个因素称之为自由度。

如何计算自由度？只要一种可能的话，自由度是0，有两种可能，自由度是1。如果抛不是一个硬币，而是一颗台球，上面数字只有一种可能，此时自由度是0。一个药片，吃下去的有三种结果：病治愈，病恶化，病不变，如果吃下去只有治愈这个可能，自由度是0，如果有三种可能，自由度是2。

对于本例的表格而言，行和列的自由度都有自己的自由度，分别是行数和列数减一。又考虑到行数和列数的乘积是表中数值的总数，因此全表对应的自由度是行和列自由度的乘积。本例的自由度由此计算出来是1。

 

对本例而言，计算出的越小，越能验证假设是正确的，越大，越证明假设是错误的。那么，究竟有多小，可以大概率认为假设正确呢？经验而言，大家认为95%的概率是足够大。95%的概率，从数学上解释是这样的：的概率密度曲线，自变量从0开始到某一个值之间的累计概率等于95%，也就是从0到这个值的概率密度曲线和x轴之见的面积是95%。可以参考下图，上面每条线都是某自由度下的卡方概率密度曲线。

 

比如，对于k=1的情况，就是最下面的黑线，从0到某个值之见，概率密度曲线和坐标轴之见的面积是0.95%。如果假设95%是正确的，那么计算出来的值应该小于这个值。反之，如果我们以95%的概率认为假设是错误的，那么计算出来的计算出来的值要大于这个值。

属于95%概率教置信度，本例那么置信度就是0.95。

 

为方便使用，概率密度曲线的自由度、置信度对应关系有一张表可以查到（表来自https://www.jianshu.com/p/807b2c2bfd9b），如下：

自由度是1且置信度是0.95的情况下，的上限是3.841，而此前计算出来的值0.2小于上限，因此可以视为假设成立。假设成立，就意味着如果抛出的结果是字11次花9次能验证字和花的出现概率都是50%。

上面的表，叫 卡方分布临界值表。不同的分布有不同的表。自由度1，就是一个标准正态分布的变量的平方模拟出来的，自由度2,是两个标准正态分布变量的平方和模拟出来的，其他以此类推。

 

泛化一下，卡方检验的计算公式是，其中，表示观察值，表示期望值。对于单变量，比如本例，表示样本出现的可能值的数量。

对于多变量多种可能，公式又可以修改为。后文我们会用另一个例子说明。

 

 

 

牛奶和感冒的例子。https://blog.csdn.net/snowdroptulip/article/details/78770088

https://blog.csdn.net/snowdroptulip/article/details/78770088

https://blog.csdn.net/qq_39303465/article/details/79223843

http://www.cnblogs.com/emanlee/archive/2008/10/25/1319569.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Chi-squared_test

https://www.zhihu.com/question/21195469

 

 

 

未完待续。