确界存在定理（实数系连续性定理）

Author: zfs

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• 非空有上界的数集，必有上确界

• 非空有下界的数集，必有下确界

概念补充：

[x]: x的整数部分
(x): x的小数部分
: 整数集
: 实数集
: 自然数集
: 对于任意的，对于每一个
: 存在，可以找到
: 元素属于某个集合
: 元素不属于某个集合
: 集合的包含关系
上界: 集合 ,非空, , , ,称是的一个上界
上确界: 设是上界的集合，则没有最大数，但必定有最小数，记为= ，称为的上确界（supremum）。另一种定义形式,若是的上界,对于为的上确界。

证：对于集合属于，有上界，则必有上确界（确界存在定理，下确界类似）

    我们知 ,=[]+()(由整数部分和其小数部分组成)
记=[], =()

说明：

• 如果是有限小数，则在其后面补上一列,使其成为无限小数
• =
  (,由=)

Start:

• 取集合,记中整数部分最大值为
  ={的整数部分为}
  有,则
• 取集合,记中小数第一位最大值为
  ={的第一位小数为}
  有,则
• 取集合,记中小数第二位最大值为
  ={的第二位小数为}
  有,则
  ……
• 取集合,记中小数第位最大值为
  ={的第位小数为}
  有,则
  进行下去……

有
取=
()
则所取即为 上确界。

证：为上确界

    1）：证为上界,即
    2）：证为上确界，即

证 1）:
    对于，则或者

• [1]对于
  则
• [2]对于
  有,则

由[1]、[2] 证毕1)

证 2）:
    当取定时，有
取
则
即

由上证毕2）

End;

综上，上确界存在定理得证。（下确界同法）

之所以确界存在定理又称之为实数系连续性定理:

    若实数系不连续，则在数轴上会有一段间隙，有间隙即存在长度,有长度即存在,使得,间隙左侧数集没有上确界，间隙右侧数集没有下确界，与确界存在定理矛盾，即实数系是连续的。