莫队算法

莫队算法

摘要

莫队算法大概有基础莫队、树形莫队、带修（带修改的）莫队等类型，本文仅介绍基础莫队。可以看作莫队算法的入门。
莫队算法据说是2010年国家集训队的莫涛发明的一个优化类的算法，由于莫涛经常打比赛做队长，大家都叫他莫队，该算法也被称为莫队算法。它使用指针移动以及分块的思想对朴素算法进行优化。
莫队算法是离线算法，可以解决一类离线的区间问题，对于序列上的区间询问问题，如果从 [l,r] 的答案能够 O(1) 扩展到 [l−1,r],[l+1,r],[l,r+1],[l,r−1] 的答案，那么可以在 O(n√n) 的复杂度内求出所有询问的答案。

问题描述

SPOJ D-query： 给定一个数组，每次询问一个区间内有多少个不同的元素。
解题思路：

1. 朴素思想
   注意到询问没有强制在线，因此我们可以使用离线的方法。首先我们考虑此类问题，如果我们已经计算出[L , R]的答案以及中间结果，那么我们显然可以在常数时间内计算出[L-1,R] , [L+1 , R] , [L , R-1] , [L , R+1]的答案，即便所给的询问并不一定是这样相差为1的区间，但这也启发了我们要尽可能将区间范围相近的放在一起计算。
2. 为什么将询问区间相近的放在一起计算可以节省时间呢？
   因为我们通过两个指针（p和q）的左右移动来统计区间信息，显然对于程序的每次运行，这两个指针的移动次数越少越好，要想移动的尽量少，显然区间相近的放在一起最好。
3. 如何排序？
   按照以上思路，我们要做的就是对区间进行排序，使得范围相近的询问区间尽量放在一起；但是区间有两个关键字（左端点和右端点），如果我们按照左端点严格升序，再按照右端点严格升序，那么很容易就想到一些反例来证明这种方法不是最优的，例如：(1, 100), (2, 2), (3, 99), (4, 4), (5, 102), (6, 7)。显然严格升序是不好的，很容易被出题人针对，如果能适当的减少右端点的移动次数，那么即使左端点的移动次数增加些许也是可以接受的。因此我们就要设计一种均衡的算法，使得左右端点并不一定严格有序，但总体复杂度（指针移动次数）尽量小。
   利用分块思想，我们可以实现上述目标。我们将长度为n的序列分为长度为$\sqrt{n}$的若干块，将区间按照左端点所在的块的序号进行排序，如果块号相同则按照右端点排序。 当然我们只是概念上分块，并不一定需要严格存储块。之后我们只需要按照排序好是顺序挨个计算即可。

总结起来一共三步：分块、排序、计算。算法复杂度为$O(N\sqrt{N})$

结束语

可以发现本文是应用型的，对于算法的正确性证明以及复杂度证明都没有涉及，这方面的原因之一是由于这是入门文章，写太多证明反而令初学者害怕，如果学有余力自然可以找相关证明；然后就是拓展，掌握了基本思想再去拓展就轻松很多了，拓展方向可以向树形莫队、带修莫队等常见类型拓展，同时注意比较莫队和其他数据结构的异同以及优劣。

代码示例

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N = 31000;
const int Q = 2e5+10;
int n,a[N],m;
int ans,sum[1010000];//一个全局答案ans和标记数组sum是必要的 
//当然也可以离散化 
int len;	//块大小，在读入询问前需要先赋值 
struct Query{
	int l,r,block,id;
	Query(){}
	Query(int l,int r,int id):l(l),r(r),id(id){
		block = l/len;
	}
	bool operator <(const Query &B) const{
		if(block == B.block) return block&1? r < B.r : r > B.r;
		//小优化，使得r呈波浪形 
		return block < B.block;
	}
}query[Q];
priority_queue > q;
//增加或减少一个x位置上的数 
void Move(int x,int v){
	x = a[x]; 
	sum[x] += v;
	if(v > 0) ans += sum[x] == 1;//判等是为了防止重复计数 
	else ans -= sum[x] == 0; 
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	len = sqrt(n);
	for(int i = 1;i <= n;i++) scanf("%d",a+i);
	scanf("%d",&m);
	for(int i = 1,x,y;i <= m;i++){
		scanf("%d%d",&x,&y);
		query[i] = Query(x,y,i);
	}
	sort(query+1,query+1+m);
	int l = 1,r = 0;
	for(int i = 1;i <= m;i++){
		while(l < query[i].l) Move(l,-1),l++;
		while(l > query[i].l) Move(l-1,1),l--;
		while(r > query[i].r) Move(r,-1),r--;
		while(r < query[i].r) Move(r+1,1),r++;
		q.push(make_pair(-query[i].id,ans));//大根堆变为小根堆 
	}
	while(!q.empty()){
		int x = q.top().second;q.pop();
		printf("%d\n",x);
	}
	return 0;
}

参考资料

[1] 张瑯小强的博客，2019.7.4
[2] 例题测试地址SPOJ-DQUERY