Box-cox变换

Box-Cox变换

 Box和Cox于1964年提出了一种基于极大似然法的幂转换模型。Box-Cox幂分布族是一种十分有用的连续分布族。其转换模型为

y(λ)={yλ−1λ,λ≠0lny,λ=0(1) (1) y ( λ ) = { y λ − 1 λ , λ ≠ 0 l n y , λ = 0

 这里 λ λ 是一个待定的变换参数。对不同的 λ λ ，所做的变换自然不同，所以就是一个变换族。对因
变量的观察值 y1,⋯，yn y 1 , ⋯ ， y n ，应用上述变换，得到变换后的变量为:

y(λ)=(y(λ)1,⋯,y(λ)n)(2) (2) y ( λ ) = ( y 1 ( λ ) , ⋯ , y n ( λ ) )

 这就是说，要求通过因变量的变换，使得变换后的 y(λ) y ( λ ) 与自变量具有线性依托关系。因此，Box-Cox变换是通过参数的适当选择，达到对原来数据的“综合治理”，使其满足一个线性模型条件。

 对于 λ λ 值的选择，可以通过极大似然法来估计。首先，在一个经验范围内选择参数 λ λ 的值，然后使用下式计算:
L(λ)=−n2lnσ2+lnJ(λ,y)(3) (3) L ( λ ) = − n 2 l n σ 2 + l n J ( λ , y )
 上式中，对于所有的 λ λ ,有：

lnJ(λ,y)=∏i=1n∂Wr∂yi=∏i=1nyλ−1i(4) (4) l n J ( λ , y ) = ∏ i = 1 n ∂ W r ∂ y i = ∏ i = 1 n y i λ − 1

 对于每一个 λ λ 来说， σ2 σ 2 是 y(λ) y ( λ ) 的极大似然估计，可通过式 (5) ( 5 ) 计算得到:

σ2a=1n∑i=1n(y(λ)i−y¯¯¯(λ))2(5) (5) σ a 2 = 1 n ∑ i = 1 n ( y i ( λ ) − y ¯ ( λ ) ) 2

 经推导可得到如下方程：

L(λ)=−n2ln[∑i=1n(y(λ)i−y¯¯¯(λ))2n+(λ−1)⋅∑i=1nlnyi(6) (6) L ( λ ) = − n 2 l n [ ∑ i = 1 n ( y i ( λ ) − y ¯ ( λ ) ) 2 n + ( λ − 1 ) ⋅ ∑ i = 1 n l n y i

 上式中，

y¯¯¯(λ)=1n∑i=1ny(λ)i y ¯ ( λ ) = 1 n ∑ i = 1 n y i ( λ )

 每一个 λ λ 对应的 λ(λ) λ ( λ ) 都可得到相应的 L(λ) L ( λ ) 。由此可以描绘相应的 λ λ 与 L(λ) L ( λ ) 的关系图，从中我们可以得到相应的最优 λ∗ λ ∗ ，使得 L(λ) L ( λ ) 最大；该优化的 λ∗ λ ∗ 对应了最优的转换模型。