到底什么是最小二乘法

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最小二乘法，又是一个即熟悉又陌生的名字。对于学工科的我，简直就是听着最小二乘长大的(汗。。。)。但是，之前碰到要用最小二乘法的时候，我采取的办法都是拿来主义（抄。。。），并没有系统的了解一下什么是最小二乘法。包括最小二乘这个叫法，也从来都不理解（一直以为是一个外来词汇的音译翻译。。。）。所以，每次碰到最小二乘法，都是一脸懵bi。再加上拖延症(其实就是懒。。)作祟，最小二乘就像神一般的存在我的脑海中。直到有一天（此处省略500字。。。。），于是有了本篇文章。

​       再说个题外话，其实4个月前就在写最小二乘这篇文章。但是，当时是直接在网上写的，写着写着突然看见新浪有个新功能，受到好奇心的驱使（其实是手贱。。），就点了一下。接着，就神马都没了。。都没了。。。对此，我就想对新浪博客提个意见，能不能加个自动保存功能！!能不能！都尼玛什么年代了，这么基础的功能都没有！简直是辣鸡！辣鸡！

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​1.引言

       言归正传，在此先列举一下最小二乘家族成员。最小二乘法直线拟合，最小二乘法多项式（曲线）拟合，机器学习中线性回归的最小二乘法，系统辨识中的最小二乘辨识法，参数估计中的最小二乘法，等等。由此可见，我们每次碰到的都是最小二乘法这个多面体的其中一个面。如果只从单个面研究，就看不到它的整体，也就不能理解它的内涵。因此，为了搞明白这个多面体，我们就要从它的核心入手，剖析它最本质的内容。

       先从最小二乘的名字来看，所谓最小二乘，其实也可以叫做最小平方和。那么，是什么的平方和最小呢?那肯定是误差最小，那是什么的误差呢?就是目标对象和拟合对象的误差。连起来看，就是通过最小化误差的平方和，使得拟合对象无限接近目标对象，这就是最小二乘的核心思想。可以看出，最小二乘解决的是一类问题，就是需要拟合现有对象的问题。这么看来，是不是也就可以理解为什么最小二乘应用如此广泛了呢。

2.最小二乘法解析

       解释完了最小二乘的思想，下面就具体说一说最小二乘的方法(方法其实是将思想具体化)。从最小二乘思想中，我们可以提出以下几个问题。

​1. 怎么列出误差方程?

2. 怎么最小化误差方程？

3. 怎么验证结果的准确性？

最小二乘法的核心，其实就是针对上述提出的三个问题的解法。​

除此之外，还有一个重要的内容：​

最小二乘应该说是一种思想，而只有结合了具体对象，才变成最小二乘法。这也就导致了多种多样的最小二乘公式、推导、证明等等。但是，其核心是最小二乘的思想，只是展示形式不同。那么，这个不同在哪里呢？​

用一句话来说：基底不同。​那么什么又是基底呢？​​

上式中的x1,x2,.....,xn就是基底。对于曲线拟合而言（见后面应用部分），x1=1，x2=x，x3=x^2.....。对于其他应用而言，x的含义又有所不同。看到这里，可能大家有一个疑问：都说最小二乘求解的是线性问题，为什么曲线拟合方程中出现幂次方这个非线性的环节了呢？​

这就又涉及到了一个重要概念，那就是：所谓线性方程，是有针对的对象的，也就是有所指的。就像一个坐标点（x,y），其含义是针对x坐标轴和y坐标轴而言的。那么这里，对于曲线拟合过程。虽然方程针对x是非线性的，但是针对各个参数θ而言，这个方程就是线性的了。​那么，如果所求是x，那么就无法用最小二乘法。换句话说，如果针对所求参数，方程是线性的，那么就可以使用最小二乘法求解。

2.1.误差方程

       先说误差方程，就是用目标函数减去拟合函数，再取其平方即可。这里又涉及到一个问题，为什么要取平方和？如果不取平方和，取误差的绝对值之和，会有什么效果呢？可以从几个方面理解这个问题，先从几何的角度看这个问题。假设有一条直线y=ax+b，要在这条直线上找到一点，距离(x0,y0)这个点的距离最短。如果用绝对值的方法寻找，也就是取min(|y-y0|+|x-x0|)，由于绝对值最小为0，所以最小的情况就是x=x0或者y=y0处，如下图1所示。

 

      如果用平方和的方法寻找，就是取 ，可以看出该式是两点间距离公式，也就是距离的概念。那么最短的距离，就是点到直线的垂线，如下图2所示。

   

​注：忽略纵轴与横轴的比值，在此只是示意图。

       因此，相比于绝对值的方法，平方和的方法可以得到更短的距离，使得拟合函数更接近于目标函数。其实上述例子，就是从范数的角度考虑这个问题，绝对值对应的是1范数，最小二乘对应的就是2范数。此外，据说还可以从极大似然法中推导出平方和的公式，有兴趣的可以深入探究一下，我再次就不再赘述（其实我也没研究过。。哈哈。。）

2.2最小化误差函数

       从高中我们就学过如何取极值，只不过不同于此的是，求取对象是一个一元二次方程。而最小二乘的误差函数形式多样，但其解决方法与求一元二次方程极值的方法相同。无非就是将原来对变量求导，变成了对向量求偏导（就是在向量某一个维度上的导数）。如果不是对向量求导，而是对函数求导，就是复变函数的变分法（可见都是换汤不换药，思想不变，重要的区别是求导对象不同）。求导之后，就是另求导的式子为0，解出极值点。再判断该极值点是极大值点还是极小值点，这样就得到了使误差函数最小化的向量值。到此，就完成了最小二乘法，是不是很简单呢。

2.3最小二乘的统计特性

       如果只考虑应用，这部分的内容就不需要了解了。因为最小二乘的统计特性是探讨，最小二乘结果可靠的原因，需要用到随机过程这个工具，推导出最小二乘适用的原理。为了不让大家迷惑，以后单独探讨这个问题。

3.最小二乘法证明举例

       已有N组{x，y}的数据，利用函数y=f(x;theta)去拟合数据，求当theta为何值时，拟合的效果最佳。​

注：由于最小二乘法的应用场景多种多样，所以很多推导公式都是基于特定应用对象的。如遇到曲线拟合的问题，各参数基底是x的幂次方。在推导的过程中，就会出现范德蒙德矩阵，经常让人一脸懵逼。为了更简便的学习最小二乘推理过程，建议大家采用本文中的全部用符号替代所有参数基地，这样反而使得推导过程更加清晰。

3.1误差函数

 

3.2误差函数求偏导

         针对误差和求偏导，有如下方程：

此处使用线性方程f去拟合数据。将上式经过化简整理，写为矩阵形式如下：

再结合 ，将上式每一行展开，再纵向求和，代入化简（化简过程比较繁琐，不过自己推导一遍会加深理解，有兴趣的可以自己推导一下，竟然可以将上式化简为非常简单的形式，很神奇）后可以得到如下方程：​

注：下面公式（2）应为公式（1）​

从以上计算可以看出，矩阵形式跟方程形式的最小二乘法是等价的，只不过是书写形式不同。如果直接从矩阵形式推导，可以更简便的得到结果（6）。特别注意，不可以直接用如下方法：

 

​貌似这样得到的结果与我们计算得到的一样，但是其实是错误的。因为第一步Y=XA就是错误的，只有当误差项为0的时候，才可以这么写，否则的话存在误差项。​

4.最小二乘法应用分析

 4.1直线拟合

         如果将最小二乘法中向量的维数设置为2，即（xi,1），拟合函数为y=ax+b，参数theta为2维，化简后的公式就是我们在书本上常见的直线拟合公式。

4.2曲线拟合

如果将最小二乘法中x，设置为如下形式：

​最小二乘法就变成了曲线拟合公式。

4.3线性回归

         机器学习中的线性回归算法，就是上面举例使用的公式。其中，线性代表的是拟合函数的形式，回归也可以称为拟合（起名问题都是历史遗留问题，哎。。）。在线性回归中，往往还经常听到一个名词，叫梯度下降。这种方法经常在如下情况使用，当XTX的逆无法求得的，也就无法用矩阵形式得到最小二乘的解。那么，就可以利用梯度下降的方法逐步的逼近出最优解。梯度下降可以算作解最小二乘的方法，跟矩阵解法、方程解法并列。具体区别可以参看知乎上对该问题的解释：

https://www.zhihu.com/question/24900876

4.4系统辨识中的最小二乘

         就是将拟合函数用传递函数的时域表达式写出，通过输入输出数据，最终计算得到时域表达式中的各项参数，就实现了系统辨识。