CSP-S 初赛准备

CSP-S 初赛问题求解与选择题

时间复杂度计算

公式：对于 $T(n)=a\times T(\frac{n}{b})+O(n^d)$ 这个递推式，其时间复杂度为：
$$T(n)=\{\begin{array}{l}O(n^{{\log }_{b}a}),a>b^d\\ \\ O(n^d\lg n),a=b^d\\ \\ O(n^d),a<b^d\end{array}$$

排序算法详解

基础知识【背诵】

算法	最大时间复杂度	平均时间复杂度	稳定性	分类
直接插入排序	$O(n^2)$	$O(n^2)$	稳定	插入排序
希尔排序	$O(\frac{n^3}{2})$	$O(\frac{n^3}{2})$	不稳定	插入排序
冒泡排序	$O(n^2)$	$O(n^2)$	稳定	交换排序
快速排序	$O(n^2)$	$O(n\log n)$	不稳定	交换排序
直接选择排序	$O(n^2)$	$O(n^2)$	不稳定	选择排序
堆排序	$O(n\log n)$	$O(n\log n)$	不稳定	选择排序
归并排序	$O(n\log n)$	$O(n\log n)$	稳定	选择排序
基数排序	$O(d(n+r))$	$O(d(n+r))$	稳定	选择排序

各种排序算法

1. 直接插入排序

   定义：将一个记录插入到已排好序的有序表中，从而得到一个新的有序表。

2. 希尔排序

   定义：

   Shell排序有效地利用了直接插入排序的两个性质： 在最好情况（序列本身已是有序的）下时间代价为Θ(n) ；对于短序列，直接插入排序比较有效：

   • 先将序列转化为若干小序列，在这些小序列内进行插入排序。
   • 逐渐扩大小序列的规模，而减少小序列个数，使得待排序序列逐渐处于更有序的状态。
   • 最后对整个序列进行扫尾直接插入排序，从而完成排序。

3. 冒泡排序

   定义：不停地比较相邻的记录，如果不满足排序要求，就交换相邻记录，直到所有的记录都已经排好序。

   注意：避免不必要的比较。检查每次冒泡过程中是否发生过交换，如果没有，则表明整个数组已经排好序了，排序结束。

4. 快速排序

   定义：

   • 选择轴值（pivot）。
   • 将序列划分为两个子序列L和R，使得L中所有记录都小于或等于轴值，R中记录都大于轴值。
   • 对子序列L和R递归进行快速排序。

5. 直接选择排序

   选出剩下的未排序记录中的最小记录，然后直接与数组中第i个记录交换

6. 堆排序

   基于最大值堆来实现

7. 归并排序

   简单地将原始序列划分为两个子序列，并分别对每个子序列递归排序；

   最后将排好序的子序列合并为一个有序序列，即归并过程。

   • 归并排序可以求逆序对

8. 基数排序

   假设长度为 $n$ 的序列 $R=\{r_0，r_1，\dots ，r_n-1\}$

   记录的排序码 $K$ 包含 $d$ 个子排序码 $K=(k_d-1，k_d-2，\dots ，k_1，k_0)$

   $R$ 对排序码 $(k_d-1，k_d-2，\dots ，k_1，k_0)$ 有序

   对于任意两个记录 $Ri，Rj(0\le i<j\le n-1)$，都满足 $(ki,d-1，ki,d-2，\dots ，ki,1，ki,0)$ $≤ $ $(kj,d-1，kj,d-2，\dots ，kj,1，kj,0)$ 其中 $kd-1$称为最高排序码 $k0$ 称为最低排序码

   • 基数排序分为两类：高位优先法$MSD$，低位优先法 $LSD$

图论

图论（英语：Graph theory）是组合数学的一个分支。图是图论的主要研究对象。图是由若干给定的顶点及连接两顶点的边所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系。顶点用于代表事物，连接两顶点的边则用于表示两个事物间具有这种关系。

图论起源于著名的柯尼斯堡七桥问题。该问题于 $1736$ 年被欧拉解决，因此普遍认为欧拉是图论的创始人。

图的定义

图（Graph）用于表示物件与物件之间的关系，是图论的基本研究对象。一张图由一些小圆点（称为顶点或结点）和连结这些圆点的直线或曲线（称为边）组成。

二元组的定义

一张图 $G$ 是一个二元组 $(V,E)$，其中 $V$ 称为顶点集， $E$ 称为边集。它们亦可写成 $V(G)$ 和 $E(G)$。 $E$ 的元素是一个二元组数对，用 $(x,y)$ 表示，其中 $x,y\in V$。

有向图和无向图

如果给图的每条边规定一个方向，那么得到的图称为有向图，其边也称为有向边。在有向图中，与一个节点相关联的边有出边和入边之分，而与一个有向边关联的两个点也有始点和终点之分。相反，边没有方向的图称为无向图。

简单图

一个图如果被称为简单图（Simple graph），那么：

1. 没有重边。即没有两条边，它们所关联的两个点都相同（在有向图中，没有两条边的起点终点都分别相同）；
2. 没有自环。即每条边所关联的是两个不同的顶点。

度

度（Degree）：一个顶点的度是指与该顶点相关联的总边数，顶点 $v$ 的度记作 $d(v)$。度和边有如下关系： ${\sum }_{v\in V}d(v)=2|E|$。

出度和入度

出度（Out-degree）和入度（In-degree）：对有向图而言，顶点的度还可分为出度和入度。一个顶点的出度为 $d_o$，是指有 $d_o$ 条边以该顶点为起点，或说与该点关联的出边共有 $d_o$ 条。入度的概念也类似。

子图

子图（Sub-Graph）：图 $H$ 称作图 $G$ 的子图如果 $V(H)\subseteq V(G)$ 以及 $E(H)\subseteq E(G)$。

如果图 $G$ 的子图 $H$，满足 $V(H)=V(G)$，即图 $H$ 包含图 $G$ 的所有顶点，则称 $H$ 是 $G$ 的生成子图。特别的如果子图 $H$ 是树，则称子图 $H$ 为生成树。

如果图 $G$ 的子图 $H$，满足对于 $u,v\in V(H)$，边 $(u,v)$ 在图 $H$ 中当且仅当边 $(u,v)$ 在图 $G$ 中，即图 $H$ 包含了图 $G$ 中所有两个端点都在 $V(H)$ 中的边，则称 $H$ 是 $G$ 的导出子图。

补图

一个图 $G$ 的补图（complement）是一个图有着跟 $G$ 相同的点，而且这些点之间有边相连当且仅当在 $G$ 里面他们没有边相连。

完全图

完全图是所有顶点两两相邻的图。$n$ 阶完全图，记作 $K_n$。$n$ 阶完全图有 $\frac{n(n-1)}{2}$ 条边。

独立集

独立集（independent set）是图论中的概念。一个独立集是一个图中一些两两不相邻的顶点的集合。换句话说它是一个由顶点组成的集合 SS，使得 SS 中任两个顶点之间没有边。等价地，图中的每条边至多有一个端点属于SS。

二分图

二分图指顶点可以分成两个不相交的集 UU 和 VV，使得在同一个集内的顶点不相邻（没有共同边）的图，即UU和VV皆为独立集。

完全二分图

完全二分图是一种特殊的二分图，可以把图中的顶点分成两个集合 $X,Y$，使得集合 $X$ 中的所有顶点都与集合 $Y$ 中的所有顶点相连。若 $|X|=m,|Y|=n$ 则图 $G$ 计作 $K_{m,n}$。

平面图

平面图是可以画在平面上并且使得不同的边可以互不交叠的图。而如果一个图无论怎样都无法画在平面上，并使得不同的边互不交叠，那么这样的图不是平面图，或者称为非平面图。

NP完全

图论中有很多经典的NP完全问题

1. 子图同构。输入图 $G$ 和图 $H$ 问是否存在 $G$ 的子图与 $H$ 同构。
2. 哈密顿路径问题。输入无向图 $G$ 问是否存在经过每个点恰好一次的路径。
3. 旅行推销员问题。输入无向图 $G$ 有边权，希望经过每个点恰好一次，并且权值和最小。
4. 最大团。输入无向图 $G$ 求最大团。
5. 最大独立集。输入无向图 $G$ 求最大独立集。
6. 图着色问题。输入无向图 $G$，每个点染一个颜色，希望相邻的点颜色不同，问最小色数。

如果在做题中遇到类似问题，说明

1. 转化中忽略了条件，比如最大独立集，一般图做不了，但是二分图可以做。
2. 忽略了数据范围，旅行推销员问题是经典的状态压缩DP。
3. 考查近似算法。很多NP完全问题，有效果不错的近似算法。

图的存储

1. 直接存，起点，终点，边权。一些需要对边进行操作的题目会用到这个方法，比如求解最小生成树的Kruskal。这个方法的缺点是，确定起点，不能很快的得到所有相邻的边。
2. 把边按起点排序存，并且记录以每个点为起点的第一条边和最后一条边。在第一个方法基础上，可以很容易的想到，把所有边按起点排序，这样确定起点，相邻的边是连续的一个区间。按起点排序时，可以使用计数排序。
3. 链表存。（值得注意的是，这样存后加入的边，会先被访问。）
4. vector，变长数组存。如果数据范围不大，或者评测打开O2，vector 是非常方便的数据结构。
5. 邻接矩阵。对于一些算法比如Floyd，需要使用邻接矩阵存边。

鸽巢原理

基本定义

若有 $n$ 个鸽巢，$n+1$ 只鸽子，则至少有一个鸽巢里至少有两只鸽子。

变形：

1. 一年 $365$ 天，今有 $366$ 个人，则其中至少有两个人生日相同。
2. 抽屉里有 $10$ 双手套，从中取 $11$ 只出来，其中至少有两只是完整配对的。

经典例题

1. （$NOIP2012$ ）如果平面上任取 $n$ 个整点（横纵坐标都是整数），其中一定存在 $2$ 个点，它们连线的中点也是整点，那么 $n$ 至少是（ ）。

   解： 存在 $2$ 个点中点是整点，要求两点横纵坐标奇偶性都相同。根据鸽巢原理，$n$ 至少是 $2\times 2+1=5$

2. 在边长为 $1$ 的正方形内任取 $5$ 点，则其中至少有 $2$ 点的距离不超过（ ）。

   解： 如下图所示，将一个正方形分成四份，那么至少有 $2$ 个点在同一个小正方形里面。在同一个正方形里面的两点最长距离即为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

3. 证明：一位国际象棋大师有 $11$ 周的时间备战比赛，他决定每天至少下 $1$ 盘棋，但每周不超过 $12$ 盘。则存在连续若干天，他恰好下了 $21$ 盘棋。

   解： 令 $a_i$ 为到第 $i$ 天下的总盘数，那我们要证明存在 $i,j$ 满足 $a_i+21=a_j$ 。

   ​ $\because$ 他每天至少下 $1$ 盘棋

   ​ $\therefore$ $a_i$ 是单调递增的

   ​ $\therefore$ $1<a_1<a_2<\dots <a_{77}<11\times 12=132$

   ​ $\therefore$ $22<a_1+21<a_2+21<\dots <a_{77}+21<132+21=153$

   ​ 上下两式总共有 $153$ 种取值，却有 $154$ 个数，所以存在 $i<j$ 满足 $a_i+21=a_j$。

加强形势

现有鸽巢 $n$ 个，鸽子 $m_1+m_2+\cdots +m_n-n+1$ 只，其中 $m_1,m_2,\dots ,m_n,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

结论： 鸽巢 $1$ 鸽子数 $>m_1$，或鸽巢 $2$ 鸽子数 $>m_2$，…… 或鸽巢 $n$ 鸽子数 $>m_n$，至少有一个成立。

扩展内容：Erdös-Szekeres 定理

在由 $n^2+1$ 个实数构成的序列中，必然含有长为 $n+1$ 的单调（增或减）子序列。

Ramsey 问题

命题：$6$ 人中或者至少存在 $3$ 人互相认识，或者至少存在 $3$ 人互相不认识。

等价问题：六个顶点的完全图的边，用红、蓝二色任意着色，则至少存在一红色边三角形，或一蓝色边三角形。

$P$，$NP$，$NPC$ 问题

1. $P$ 类问题：所有可以在多项式时间内求解的判定问题构成 $P$ 类问题。
2. $NP$ 类问题：所有的非确定性多项式时间（指数级）可解的判定问题。
3. $NP$ 中的某些问题的复杂性与整个类的复杂性相关联。这些问题中任何一个如果存在多项式时间的算法，那么所有 $NP$ 问题都是多项式时间可解的。这些问题被称为 $NP$ 完全问题（$NPC$ 问题）。

具体例题：NOIP2012-20

排列组合

前置知识

$A_n^n=n!$

$A_n^m=n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}$

$C_n^m=\frac{A_n^m}{A_m^m}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1)}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$

另外，规定 $C_n^0=1$

圆排列（在一个圆里，经旋转后相同算同一种解）：$Q_n^r=\frac{A_n^r}{r}=\frac{n!}{r\cdot (n-r)!}$

重要定理及证明

1. $C_n^m=C_n^{n-m}$

   我们可以这么想：组合就是从 $n$ 个元素中随机抽出 $m$ 个元素，那这样和从 $n$ 个元素中抽出 $n-m$ 个元素保留不是一个道理吗？所以就有了这个公式：$C_n^m=C_n^{n-m}$

2. $C_{n+1}^m=C_n^m+C_n^{m-1}$ 【记牢，经常用！！！】

   方法1：我们可以这么想：假设集合 $A$ 中现在有 $n+1$ 个元素，分别为 $a_1,a_2,\cdots ,a_{n+1}$ ，那么从集合 $A$ 中抽出 $m$ 个元素，就可以分类讨论：如果抽出的元素中不含有 $a_1$ ，那么就是从 $n$ 个元素中抽出 $m$ 个元素，一共有 $C_n^m$ 种；如果抽出的元素中含有 $a_1$，那么就有 $C_n^{m-1}$ 种方法。所以 $C_{n+1}^m=C_n^m+C_n^{m-1}$。

   方法2：阶乘证明：

   $\because$ 左边 $=$ $\frac{(n+1)!}{m!(n+1-m)!}$

   $\because$ 右边 $=$ $\frac{n!}{m!(n-m)!}+\frac{n!}{(m-1)!(n+1-m)!}=\frac{n!(n-m+1)}{m!(n+1-m)!}+\frac{n!\cdot m}{m!(n+1-m)!}=\frac{(n+1)!}{m!(n+1-m)!}$

   $\therefore$ 左边 $=$ 右边

   $\therefore C_{n+1}^m=C_n^m+C_n^{m-1}$

   方法3：杨辉三角形的任意一个数都等于它肩上的两个数之和，再结合二项式定理，就可以得出这个规律。

3. $C_n^m=\frac{m+1}{n+1}{C}_{n+1}^{m+1}$

   同样，这里也可以用阶乘来证明：

   $\because$ 左边 $=$ $\frac{n!}{m!(n-m)!}$

   $\because$ 右边 $=$ $\frac{m+1}{n+1}\cdot \frac{(n+1)!}{(m+1)!(n+1-m-1)!}=\frac{m+1}{n+1}\cdot \frac{(n+1)!}{(m+1)!(n-m)!}=\frac{m+1}{n+1}\cdot \frac{n!(n+1)}{m!(n-m)!(m+1)}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$

   $\therefore$ 左边 $=$ 右边

   $\therefore$ $C_n^m=\frac{m+1}{n+1}{C}_{n+1}^{m+1}$

4. 一个含有 $n(n\in N^{\ast })$ 个元素的集合 $A=\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\}$，不同的子集又 $2^n$ 个。

二项式定理

1. 俗话来说，就是杨辉三角形！

2. 二项式定理公式：
   $$(a+b{)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}{b}^1+\cdots +C_n^k{a}^{n-k}{b}^k+\cdots +C_n^n{b}^n(n\in N^{\ast })$$

3. 二项式定理通项：
   $$T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$$

4. 二项式系数之和：

   令 $(a+b{)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}{b}^1+\cdots +C_n^k{a}^{n-k}{b}^k+\cdots +C_n^n{b}^n(n\in N^{\ast })$，那么 $C_n^0+C_n^1+\cdots +C_n^n=2^n$

   证明：

   用赋值法，令 $a=b=1$，那么 $(a+b{)}^n=C_n^0+C_n^1+\cdots +C_n^n=(1+1{)}^n=2^n$

5. 二项式系数最值问题：

   都知道杨辉三角形其实是一个十分对称的三角形，每一行的最大值就是在这一行最中间的那个数。对于 $(a+b{)}^n$，展开后只要关注$\frac{n}{2}$ 的值。如果 $\frac{n}{2}$ 的值是整数，那么二项式系数的最大值就是 $C_n^{\frac{n}{2}}$ ；反之，如果 $\frac{n}{2}$ 是小数，那么二项式系数的最大值就是 $C_n^{[\frac{n}{2}]},C_n^{[\frac{n}{2}]+1}$ （ $[x]$ 表示对 $x$ 向下取整）。

错位排列

问题：有 $n$ 个信封和 $n$ 个信箱，分别编号为 $1$ 到 $n$，相同编号的信封和信箱不能放一起，则有几种方法？

公式：$f(n)=(n-1)(f(n-1)+f(n-2))$

错位排列的前几项：$0,1,2,9,44,265$

并不是所有的问题都适用排列组合，视情况而定！

卡特兰数

公式

先看这个问题：在 $n\times n$ 的网格里从左下角走到右上角的不经过 $y=x$ 这条线的单调路径的条数。

路径条数即为：$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2n}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{2n}\right)=\frac{1}{n+1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2n}\right)$

卡特兰数通式即为：$C_n=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2n}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{2n}\right)=\frac{1}{n+1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2n}\right)$

卡特兰数的递推公式 $1$：$C_n=C_0\times C_{n-1}+C_1\times C_{n-2}+\cdots +C_{n-1}\times C_0,C_0=1$

卡特兰数的递推公式 $2$：$C_n=\frac{C_{n-1}\times (4\times n-2)}{n+1}$

应用

1. 求带限制条件的路径条数

2. 求合法的括号序列的个数

3. 求出栈次序

4. 买票找票问题：有 $2n$ 个人排成一行进入剧场。入场费 $5$ 元。其中只有 $n$ 个人有一张 $5$ 元钞票，另外 $n$ 人只有 $10$ 元钞票，剧院无其它钞票，问有多少种方法使得只要有 $10$ 元的人买票，售票处就有 $5$ 元的钞票找零？（将持 $5$ 元者到达视作将 $5$ 元入栈，持 $10$ 元者到达视作使栈中某 $5$ 元出栈）

5. 排队问题：现在有 $2n$ 个人，他们身高互不相同，他们要成两排，每一排有 $n$ 个人，并且满足每一排必须是从矮到高，且后一排的人要比前一排对应的人要高，问有多少种方案。

6. 凸多边形三角划分：在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，把这个多边形划分成了若干个三角形。任务是输入凸多边形的边数 $n$，求不同划分的方案数 $f(n)$。

7. 给定节点构成二叉搜索树

指针问题

指针定义

C语言里，变量存放在内存中，而内存其实就是一组有序字节组成的数组，每个字节有唯一的内存地址。CPU 通过内存寻址对存储在内存中的某个指定数据对象的地址进行定位。这里，数据对象是指存储在内存中的一个指定数据类型的数值或字符串，它们都有一个自己的地址，而指针便是保存这个地址的变量。也就是说：指针是一种保存变量地址的变量。

如何定义一个指针

指针其实就是一个变量，指针的声明方式与一般的变量声明方式没太大区别，下面举了几个栗子：

int *p;        	// 声明一个 int 类型的指针 p
char *p        	// 声明一个 char 类型的指针 p
int *arr[10]   	// 声明一个指针数组，该数组有10个元素，其中每个元素都是一个指向 int 类型对象的指针
int (*arr)[10] 	// 声明一个数组指针，该指针指向一个 int 类型的一维数组
int **p;       	// 声明一个指针 p ，该指针指向一个 int 类型的指针

声明一个指针变量并不会自动分配任何内存。在对指针进行间接访问之前，指针必须进行初始化：或是使他指向现有的内存，或者给他动态分配内存，否则我们并不知道指针指向哪儿。同时，对指针进行初始化后，便可以正常对指针进行赋值了。 初始化的操作如下：

/* 方法：使指针指向现有的内存 */
int x = 1;
int *p = &x;　　// 指针 p 被初始化，指向变量 x ，其中取地址符 & 用于产生操作数内存地址

就如下面这个程序，输出为：1 2

#include 

int main(){
    int x = 1;  
    int *p = &x;
    printf("%d ",*p);
　  *p = 2;
    printf("%d\n",*p);

    return 0;  
}

NULL指针

NULL 指针是一个特殊的指针变量，表示不指向任何东西。可以通过给一个指针赋一个零值来生成一个 NULL 指针。

指针的运算

1. 指针 $+/-$ 整数

   可以对指针变量 $p$ 进行 p++、p--、p+i 等操作，所得结果也是一个指针，只是指针所指向的内存地址相比于 $p$ 所指的内存地址前进或者后退了 $i$ 个操作数。

2. 指针 $-$ 指针

   只有当两个指针都指向同一个数组中的元素时，才允许从一个指针减去另一个指针。减法运算的值是两个指针在内存中的距离（以数组元素的长度为单位），因为减法运算的结果将除以数组元素类型的长度。举个例子：

   #include "stdio.h"
   
   int main(){
       int a[10] = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,0};
       int sub;
       int *p1 = &a[2];
       int *p2 = &a[8];
   
       sub = p2-p1;                                                                            
       printf("%d\n",sub);　　　　// 输出结果为 6
   
       return 0;
   }
   

逻辑运算

1. 概念：非：not $\neg$ 与：and $\wedge$ 或：or $\vee$ 异或：xor $\oplus$

2. 运算符的优先级：

OI历史及规则

各项赛事

1. NOI 全国青少年信息学奥林匹克竞赛，从 $1984$ 年开始至今
2. NOIP 全国青少年信息学奥林匹克联赛，从 $1995$ 年到 $2018$ 年（NOIP已死）
3. CSP认证 从 $2014$ 年开始
4. CSP-J/S 非专业级别的能力认证，从 $2019$ 年开始
5. APIO 亚洲与太平洋地区信息学奥赛，从 $2007$ 年开始，第一届在澳大利亚举行
6. IOI 国际信息学奥林匹克竞赛，从 $1989$ 年在保加利亚开始。中国承办 IOI 2000

联赛规则

不用说了，自己访问 www.noi.cn 去看吧！

计算机基础知识

发展史

1. $1946$ 年 $2$ 月，在美国宾夕法尼亚大学诞生了世界上第一台电子计算机ENIAC，这台计算机占地 $170$ 平方米，重 $30$ 吨，用了 $18000$ 多个电子管，每秒能进行 $5000$ 次加法运算。

2. 计算机的 $4$ 个发展过程：

   $1.$ 电子管 $1946-1958$

   $2.$ 晶体管 $1959-1964$

   $3.$ 集成电路 $1965-1970$

   $4.$ 大规模，超大规模集成电路 $1971-Now$

3. 冯·诺依曼（美籍匈牙利数学家）思想：计算机由存储器，控制器，运算器，输入设备，输出设备 $5$ 部分组成。

4. 图灵：英国数学家，$1912-1954$

系统的基本结构和常识

2. CPU（中央处理器）的主要指标为主频和字长。

3. CPU是微机的核心部件，是决定微机性能的关键部件。$20$ 世纪 $70$ 年代微型机的CPU问世，微型计算机的核心部件微处理器从Intel 4004，80286，80386，80486 发展到 Pentium II/III 和 Pentium 4，数位从$4$ 位、$8$ 位、$16$ 位、$32$ 位发展到 $64$ 位，主频从几 $MHZ$ 到今天的数 $GHZ$ 以上（$1GHZ＝1000MHZ$），CPU芯片里集成的晶体管数由 $2$ 万个跃升到 $1000$ 万个以上。

4. 世界上第一个CPU：Inter 4004。

5. 进制转换：$1TB=1024GB=1024^{2}MB=1024^{3}KB=1024^{4}B$

6. 各种存储器读取速度比较：Cache $>$ RAM $>$ ROM $>$ 外存 离CPU越近，速度越快

7. 总线结构可分为：数据，地址，控制总线。

8. $BIOS$ 是存放在 $ROM$ 芯片上的一个程序。

9. 计算机的软件：

10. 计算机的语言：机器语言，汇编语言，高级语言
11. 在高级语言中，编译性语言有 C/C++、Pascal/Object Pascal（Delphi）等；解释性语言有 ASP、PHP、Java、JavaScript、VBScript、Perl、Python、Ruby 等。

IP地址

1. $16$ 位地址总线的寻址空间：$64KB$ ，$32$ 位地址总线的寻址空间：$4GB$ 。

2. $IP$ 地址的分类

   A类 $IP$ 地址：0.0.0.0 - 127.255.255.255

   B类 $IP$ 地址：128.0.0.0 - 191.255.255.255

   C类 $IP$ 地址：192.0.0.0 - 223.255.255.255

   D类 $IP$ 地址：224.0.0.0 - 239.255.255.255

   E类 $IP$ 地址：240.0.0.0 - 247.255.255.255

3. $TCP$ 协议属于传输层。

信息编码

1. 字节是存储器系统的最小存取单位。

2. 英文编码：$ASCII$ 码。$ASCII$ 编码是由美国国家标准委员会制定的一种包括数字、字母、通用符号和控制符号在内的字符编码集，全称叫美国国家信息交换标准代码（American Standard Code for Information Interchange）。

3. 汉字编码：国家标准 $GB2312$：包括了 $6763$ 个汉字。

原码，反码，补码

1. 原码：原码就是符号位加上真值的绝对值，即用第一位（$+=0,-=1$）表示符号，其余位表示值。

   $+1=00000001,-1=10000001$

2. 反码：正数的反码是其本身，负数的反码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各个位取反。

   $+1=[00000001{]}_{原}=[00000001{]}_{反}$

   $-1=[10000001{]}_{原}=[11111110{]}_{反}$

3. 正数的补码就是其本身，负数的补码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各位取反，最后 $+1$。（即在反码的基础上 $+1$）

   $+1=[00000001{]}_{原}=[00000001{]}_{反}=[00000001{]}_{补}$

   $-1=[10000001{]}_{原}=[11111110{]}_{反}=[11111111{]}_{补}$

传值调用与传址调用

传值只是把其值传给副本，副本改变（比如交换）但原值不改变。传址是是把变量的地址传给地址变量，如果修改其变量所指的内容，原值就会改变。

加了 & 是传址调用。

CSP-S 初赛阅读程序与程序填空

阅读程序与程序填空

常考算法

约瑟夫环、幻方、求逆序对、归并排序相关操作、求逆序对、快速幂、组合数学、杨辉三角、二进制、搜索（遍历）、$\gcd$ 、$ex\gcd$、最长上升子序列、最长公共子序列、最长公共上升子序列、康拓展开……

其实主要还是以做题为主（模板题）。

推荐书籍：《算法竞赛进阶指南》

推荐网站：牛客网

错题集：

NOIP2012

8. 地址总线的位数决定了CPU可直接寻址的内存空间大小，例如地址总线为 $16$ 位，其最大的可寻址空间为 $64KB$ 。如果地址总线是 $32$ 位，则理论上最大可寻址的内存空间为（ ）。

   A. $128KB$ B. $1MB$ C. $1GB$ D. $4GB$

   正解：$D$

9. 在计算机显示器所使用的 $RGB$ 颜色模型中，（）属于三原色之一。

   A. 黄色 B. 蓝色 D. 绿色 C. 紫色

   正解：$BD$

   $R\Rightarrow Red,G\Rightarrow Green,B\Rightarrow Blue$

10. 以下（ ）属于互联网上的 E-mail 服务协议。

    A. HTTP B. FTP C. POP3 D. SMTP

    正解：$CD$

    常识，记牢！！！

11. 以下关于计算复杂度的说法中，正确的有（ ）。

    A. 如果一个问题不存在多项式时间的算法，那它一定是 $NP$ 类问题

    B. 如果一个问题不存在多项式时间的算法，那它一定不是 $P$ 类问题

    C. 如果一个问题不存在多项式空间的算法，那它一定是 $NP$ 类问题

    D. 如果一个问题不存在多项式空间的算法，那它一定不是 $P$ 类问题

    正解：$BD$

12. 对于一棵二叉树，独立集是指两两互不相邻的节点构成的集合。例如，图 $1$ 有 $5$ 个不同的独立集（$1$ 个双点集合、$3$ 个单点集合、$1$ 个空集），图 $2$ 有 $14$ 个不同的独立集。那么，图 $3$ 有_________个不同的独立集。

    

    正解：$5536$

13. 阅读程序：

    #include  
    #include  
    using namespace std;
    int lefts[20], rights[20], father[20]; 
    string s1, s2, s3;
    int n, ans;
    void calc(int x, int dep)
    {
        ans = ans + dep*(s1[x] - 'A' + 1);
        if (lefts[x] >= 0) calc(lefts[x], dep+1); 
        if (rights[x] >= 0) calc(rights[x], dep+1);
    }
    void check(int x)
    {
        if (lefts[x] >= 0) check(lefts[x]);
        s3 = s3 + s1[x];
        if (rights[x] >= 0) check(rights[x]);
    }
    void dfs(int x, int th)
    {
        if (th == n)
        {
            s3 = "";
            check(0);
            if (s3 == s2)
            {
                ans = 0;
                calc(0, 1);
                cout<<ans<<endl;
            }
            return;
        }
        if (lefts[x] == -1 && rights[x] == -1)
        {
            lefts[x] = th;
            father[th] = x;
            dfs(th, th+1);
            father[th] = -1;
            lefts[x] = -1;
        }
        if (rights[x] == -1)
        {
            rights[x] = th;
            father[th] = x;
            dfs(th, th+1);
            father[th] = -1;
            rights[x] = -1;
        }
        if (father[x] >= 0) dfs(father[x], th);
    }
    int main()
    {
        cin>>s1;
        cin>>s2;
        n = s1.size();
        memset(lefts, -1, sizeof(lefts));
        memset(rights, -1, sizeof(rights));
        memset(father, -1, sizeof(father));
        dfs(0, 1);
    }
    

    输入：
    ABCDEF
BCAEDF

    正确输出：$55$

XJ CSP-S 模拟赛2

1. 如果互连的局域网高层分别采用 $TCP/IP$ 协议与 $SPX/IPX$ 协议，那么我们可以选择的互连设备应该是（）。

   A. 中继器 B. 网桥 C. 网卡 D. 路由器

   正解：$D$

2. 在待排序的数据表已经为有序时，下列排序算法中时间复杂度会减少的是（）。

   A. 堆排序 B. 希尔排序 C. 冒泡排序 D. 插入排序

   正解：$BD$

   见上文各种排序算法详解

3. 下列关于排序说法正确的是（）。

   A、 插入排序、冒泡排序是稳定的
   B、 选择排序的时间复杂度为 $O(n^2)$
   C、 选择排序、希尔排序、快速排序、堆排序是不稳定的
   D、 希尔排序、快速排序、堆排序的时间复杂度为 $O(n\log n)$

   正解：$ABC$

   见上文各种排序算法详解

4. 阅读程序：

   #include 
   #include   
   using namespace std;  
   int a[33],b[33];
   void ssort(int x,int y){
   	if(y-x>1){
   		int m=(x+y)/2;
   		ssort(x,m);
   		ssort(m+1,y);
   		int k=x;
   		for(int i=x;i<=m;i++){
   			b[k]=a[i];b[k+1]=a[m+i-x+1];
   			k+=2;
   		}
   		for(int i=x;i<=y;i++) a[i]=b[i];
   	}
   }
   int main() {
   	for(int i=1;i<=16;i++) a[i]=i;
   	ssort(1,16);
   	for(int i=1;i<=16;i++) cout<<setw(3)<<a[i];
   	cout<<endl;
       return 0;
   }
   //这道题请严格按照输出格式来，注意行首和行间空格，行末空格忽略
   

   答案：1 9 5 13 3 11 7 15 2 10 6 14 4 12 8 16

XJ CSP-S 模拟赛3

1. 下列属于冯诺依曼计算机模型的核心思想有（）。

   A. 采用二进制表示数据和指令
   B. 采用“存储程序”工作方式
   C. 计算机硬件有五大部件（运算器、控制器、存储器、输入和输出设备）
   D. 结构化程序设计方法

   正解：$ABC$

   计算机基础知识：冯·诺依曼思想

2. 就地（原地）排序是指：基本上不需要额外辅助的的空间，允许少量额外的辅助变量进行的排序。以下排序中属于就地排序的是（）

   A. 基数排序 B. 希尔排序 C. 归并排序 D.快速排序

   正解：$BD$

   排序算法	辅助空间代价
   直接插入排序	$O(1)$
   希尔排序	$O(1)$
   冒泡排序	$O(1)$
   快速排序	$O(\log n)$ 属于就地排序
   选择排序	$O(1)$
   堆排序	$O(1)$
   归并排序	$O(n)$
   基数排序	$O(n+r)$

3. 下列关于图的说法正确的是（）

   A. 欧拉图的每一个顶点都能作为某条欧拉闭迹的起点
   B. 一个图有欧拉闭迹当且仅当该图有零个奇点
   C. 若一个无向图有奇数条边，则它必然不是二分图
   D、若 $G$ 是汉密尔顿图，则对 $G$ 上的汉密尔顿圈 $C$，任意删去 $n$ 个点，最多可将 $C$ 划分为 $n$ 段，反之亦然

   正解：$A$

NOIP2014 提高组

1. $TCP$ 协议属于哪一层协议（ ）。

   A. 应用层 B. 传输层 C. 网络层 D. 数据链路层

   正解：$B$

2. 对长度位 $n$ 的有序单链表，若检索每个元素概率相等，则顺序检索到表中任一元素的平均检索长度为（）。

   A. $\frac{n}{2}$ B. $\frac{n+1}{2}$ C. $\frac{n-1}{2}$ D. $\frac{n}{4}$

   正解：$B$

3. 如图所示，图中每条边上的数字表示该边的长度，则从A到E的最短距离是（）。

   

   正解：$15$

   路径为：$A-B-C-F-H-I-E$

4. 程序填空

   #include 
   const int SIZE = 100;
   int	stack1[SIZE], stack2[SIZE];
   int	top1, top2;
   int	n, m, i, j;
   void clearStack()
   {
   	int i;
   	for ( i = top1; i < SIZE; i++ )
   		stack[i] = 0;
   	for ( i = top2; i < SIZE; i++ )
   		stack[i] = 0;
   }
   int main()
   {
   	scanf( "%d,%d", &n, &m );
       
   	for ( i = 0; i < n; i++ )
   		scanf( "%d", &stack1[i] );
   	top1 = ______(1)______;
   	top2 = ______(2)______;
   	for ( j = 0; j < m; j++ )
   	{
   		scanf( "%d", &i );
   		while ( i < top1 - 1 )
   		{
   			top1--;
   			______(3)______;
   			top2++;
   		}
   		while ( i > top1 - 1 )
   		{
   			top2--;
   			______(4)______;
   			top1++;
   		}
   		clearstack();
   		printf( "%d\n", stack1[______(5)______] );
   	}
   	return(0);
   }
   
   (2):________________
   

   正解：$\text{1}$

   因为 top 都是指向栈顶元素的下一个元素下标。所以当栈为空时，top 指向的下标为 $1$

5. 程序填空

   #include 
   const int SIZE=100;
   int matrix[SIZE+1][SIZE+1];
   int rowsum[SIZE+1][SIZE+1];    //rowsum[i][j]记录第i行前j个数的和
   int m,n,i,j,first,last,area,ans;
   int main()
   {
   	scanf(“%d %d”,&m,&n);
       for(i=1;i<=m;i++)
         	for(j=1;j<=n;j++)
           	scanf(“%d”,&matrix[i][j]);
   	ans=matrix_____(1)_____;
   	for(i=1;i<=m;i++) _____(2)_____;
     	for(i=1;i<=m;i++)
     		for(j=1;j<=n;j++)
           	rowsum[i][j]=_____(3)_____;
     	for(first=1;first<=n;first++)
       	for(last=first;last<=n;last++)
           {
           	_____(4)_____;
       		for(i=1;i<=m;i++)
       		{
       			area+=_____(5)     ;
           		if(area>ans) ans=area;
           		if(area<0)area=0;
          		}
        	}
       printf(“%d\n”,ans);
       return 0;
   }
   (3):__________
   (5):__________
   

   正解：$\text{rowsum[i][j-1] + matrix[i][j]}$

   ​ $\text{rowsum[i][last]-rowsum[i][first-1]}$

XJ CSP-S 模拟赛4

1. 若 $f[1]=1,f[2]=\frac{5}{6},3\times f[n+1]=5\times f[n]-2\times f[n-1]$，则随着 $i$ 的增大，$f[i]$ 将接近（）。

   A. $\frac{1}{3}$ B. $\sqrt{2}-1$ C. $\frac{1}{2}$ D. $1$

   正解：$C$

2. 最大容量为 $n$ 的循环队列，队尾指针是 rear，队头是 front，则队空的条件是（）。

   A. (rear+1)%n==front B. rear==front

   C. rear+1==front D. (rear-1)%n==front

   正解：$B$

   循环队列的基础知识。

3. 二维数组 $A$ 的每个元素是由 $10$ 个字符组成的串，其行下标 $i=0,1,\dots ,8$，列下标 $j=1,2,\dots ,10$。若 $A$ 按行先存储，设每个字符占一个字节，元素 $A[8][5]$ 的起始地址与当 $A$ 按列先存储时的元素（）的起始地址相同。

   A. $A[8][5]$ B. $A[3][10]$ C. $A[5][8]$ D. $A[0][9]$

   正解：$B$

4. 你一定玩过汉诺塔游戏：有三根柱子，在一根柱子上有若干盘子，保证自上而下从小到大堆放，现要将所有盘子移动到最后一根柱子上，保证：1、移动过程中，始终保证小盘子在大盘子上；2、在三根柱子间一次只能移动一个盘子。现在规则稍有一些变化（相信难不倒聪明的你）——四根柱子，其他规则不变，问把 $A$ 柱子上 $20$ 个盘子移动到 $D$ 上的最小步数为（）。

   A. $289$ B. $2023$ C. $524287$ D. $1048575$

   正解：$A$

XJ CSP-S 模拟赛5

1. 在等腰直角三角形 $ABC$ 中，过直角顶点 $C$ 在 $\angle ACB$ 内部任作一射线 $CM$，与线段 $AB$ 交于点 $M$，求$AM<AC$ 的概率。

   A. $\frac{1}{\sqrt{3}}$ B. $\frac{1}{2}$ C. $\frac{2}{\sqrt{2}}$ D. $\frac{3}{4}$

   正解：$D$

   按角度来计算，不是按线段长度来计算

2. 若A=False，B=True，C=True，D=False，则下列逻辑运算真的有（）

   A. (A∧B)V(C∧D) B. ((A∧¬B)VD)∧B C. ((¬A→¬B)∧C)VD D. ¬A∧(¬D→¬C)→¬B

   正解：$D$

   → 是蕴含的意思。

3. 在整数的补码表示法中，以下说法正确的是（ ）。

   A．只有负整数的编码最高位为1

   B．在编码的位数确定后，所能表示的最小整数和最大整数的绝对值相同

   C．整数0有正零和负零两个编码

   D．两个用补码表示的数相加时，如果在最高位产生进位，则表示运算溢出

   正解：$A$

4. 下列不是Internet提供的服务有（ ）

   A. 信息检索工具 B. 电子邮件 C. 文件传输协议FTP D. 数字视频影像服务

   正解：$D$