关于作者
蔡天新，是浙江大学的数学系教授、博士生导师，曾经主持过国家自然科学基金项目。同时，他还是一位诗人、作家，出版过诗集、随笔集，还有十多部文学作品。近年来致力于数学文化的研究和写作，是一位学兼文理的青年学者。
关于本书
本书是作者的重要作品，入选了国家新闻出版广电总局向全国青少年推荐的百种优秀图书。不同于以往的著作，本书的讨论范围没有局限在自然科学领域，也没有限制在西方主体文明的范围，作者对全球各个文明社会的数学家和文化现象进行了关联思考，深刻阐释了数学对整个人类文明的重要性，并对现代数学和现代文明的发展做出了展望。
核心内容
本书首先讨论了数学和精神文明的关联。在哲学领域，古希腊人运用数学逻辑建立哲学体系，把理性主义的思维方式发扬光大，深刻影响了西方人的精神世界；在艺术领域，艺术家们用数学的精巧构图再现人文主义思想，推动了文化的发展进步。之后讨论了高等数学的发展对物质文明的巨大推动，以及近现代数学的新突破。作者表示，数学并不是世界的终极真理，数学的发展趋势，是帮助人类意识由已知向未知拓展，而不再受到认知经验的局限。
前言
本书作者蔡天新，是浙江大学的数学系教授。他 24 岁博士毕业，31 岁就当上了教授，是数学界一位年轻有为的学者。有趣的是，作者同时还是一位诗人，出版过十多部文学作品。可能也是因为这么丰富的知识背景，作者才能找到数学和人文领域的巧妙关联。
本书主要讲了四个重点：第一个重点，我们一起了解数学和哲学的关系，看看西方人是怎么通过数学研究哲学的；第二个重点说的是数学对艺术的贡献，看看这两个看似不相关的领域有什么奇妙的默契；第三个重点是数学和工业文明，我们来听听数学如何推动了人类物质文明的进步；最后，我们回头审视下伽利略的观点，既然数学如此包罗万象，那它到底是不是人类所一直寻求的世界的永恒真理。
第一部分
下面我们就来说第一个重点，数学和哲学的关系。你可能不太理解，按咱中国人的观念，哲学是纯粹的人文科学，比如儒家讲仁义礼智信，道家说道法自然、天人合一，都是有关经世治国、修身养性的学问，怎么看都和数学不搭边。但是，发源于古希腊的西方哲学恰恰相反。
我们知道，古希腊是西方文明史中的辉煌时代，即使用今天的眼光去看，处在农耕社会的古希腊人也相当现代。比如，古希腊人爱体育，爱艺术，追求人的全面发展。他们还有一个最大的爱好，那就是爱琢磨，特别喜欢理性思考，所以孕育出了像柏拉图、亚里士多德师徒这样的大哲学家。这种理性思考的习惯，也让古希腊成为数学研究的黄金时期。对古希腊人来说，学不好数学的科学家，肯定不是好的哲学家。为什么这么说呢？答案就是，古希腊乃至后来的西方哲学，都建立在严密的演绎推理之上，也就是说，哲学家们是用研究数学的思维来论证哲学问题的。
比如，古希腊有一位早期哲学家，叫毕达哥拉斯。西方人认为他是算术、几何、天文还有音乐这四门手艺的祖师爷，哲学和数学这两个名词就是他创造的。他有一个著名的观点，叫 “万物皆数”，意思是说，世间万物的规律都能用自然数的运算来解释，研究数学的终极目的不在于使用它，而在于探索世界的真理。他的这种思想，就给后来的哲学家们定好了调子：如果你想研究哲学，就要有完美主义精神，你提出的任何观点，必须经过数学式的假设、演绎、推理和论证，你得保证它的逻辑是环环相扣、完美无缺的，不能自相矛盾。因此，古希腊的大哲学家基本都是大数学家。毕达哥拉斯本人就发现了勾股定理，并且第一个给出了定理的证明，所以西方人管勾股定理叫毕达哥拉斯定理。
那么问题来了，同时期的中国数学发展得也很强，比如商周时期的周公，也就是周文王的儿子，最早发现了勾股定理，比毕达哥拉斯还早五百多年，那东方哲学怎么就和数学分道扬镳了呢？这就涉及到了文明理念上的区别。对咱们东方人来说，有用的才叫知识，研究数学就是为了解决实际问题，因此在和算术紧密相关的天文、历法领域一直保持领先。但希腊人不一样，他们纯粹是为了研究数学而研究数学，经常会问 “等腰三角形的两个底角为什么相等呢？”“为什么直径会把一个圆两等分呢？” 对中国人来说，这就是钻牛角尖，你研究这个干吗，有什么用？但在古希腊人眼里，一个结论只有经过证明才是可靠的，他们这种严格的演绎推理习惯，就叫作“理性主义”。
你看，古希腊哲学和数学确实是密不可分的。柏拉图曾经宣称，数学是一切知识中的最高形式，上帝都应该是一位伟大的几何学家。柏拉图后来在雅典创办了人类第一所大学柏拉图学园。学园门口刻着一块牌子，“不懂几何学的人请勿入内”，这其实就是在强调，要想研究哲学，先学好数学。这个学园持续兴盛了几百年，培养出很多大家。比如柏拉图的学生亚里士多德，既是现实主义哲学的鼻祖，也是统计学这个数学分支的创建者。
在这种理性主义氛围的滋养下，柏拉图学园取得了突飞猛进的数学成就。公元前 300 年，柏拉图学园里的年轻学者欧几里得，写出了古希腊的数学神作《几何原本》。从 15 世纪开始，这本书在西方的发行量仅次于《圣经》，一直是标准的数学教材。在书里面，欧几里得从五条公理出发，把希腊时期的主要数学发现做了汇总，并给出了完整的证明和推导过程。这本书的意义是里程碑式的，它第一次系统地构建了人类对于空间的认知，把理性主义发挥到了极致，影响也远远超出了数学之外。这本书持续火了两千多年，不管是哲学家还是科学家，甚至神学家和政治家，都仿照欧几里得那种严密的逻辑演绎来建立理论体系，也就是先假设，然后从已知的公理出发，通过逻辑推理得到结果。据说连美国的《独立宣言》，都是按照《几何原本》的结构起草的。
由此可见，数学和西方哲学，乃至于今天的西方文化，根源上是一脉相承的，联系它们的桥梁是一种特别的思维模式，那就是理性主义。希腊数学从生活实际需要中分离了出来，进入了纯粹的研究领域。
第二部分
那么，人类精神文明的另一个维度，象征审美和情感的艺术领域，有没有受到数学的影响呢？这就是我们要说的第二个重点，数学对艺术领域的贡献。
在书中，作者拿美术来举例子。我们在欣赏画展的时候，会感受到身心的愉悦和对美的追求，但是研究数学也有类似的体验吗？数学和美术这两者在感官上好像并没有相关性，但其实，美术和数学的发展存在着一种默契。我们知道，文艺复兴时期诞生了许多像达芬奇这样的大画家，与此同时，数学和其他自然科学也取得了爆发式的进步，这仅仅是巧合吗？在给出答案之前，我们要先了解文艺复兴这个伟大时代的由来。
前面说过，古希腊数学成就十分辉煌，但是你可能不知道，它的结局却很落寞。公元前 212 年，罗马人兵临雅典城下，杀死了古希腊最后一位大数学家阿基米德，这意味着数学的黄金时代彻底结束。罗马人可不那么爱科学，他们烧毁了大部分的数学典籍。从此，欧洲逐渐进入了中世纪，数学研究停滞不前。过了好几百年，一直到公元 7 世纪，中亚的阿拉伯帝国才开始注重科学研究，把少数残存的《几何原本》翻译成了阿拉伯语，保存在巴格达。又过去五百多年，欧洲和中亚的联系在 12 世纪变得紧密，欧洲人猛然发现，阿拉伯人竟然有这么厉害的数学成就，于是学者们开始疯狂投身翻译事业，用接近三百年的时间，把大量希腊和中东的数学著作，从阿拉伯文翻译回了拉丁文，其中就包括来自印度的数学符号阿拉伯数字。就这样，时隔近千年，希腊科学遗产兜了一个大圈，终于又回到了欧洲。
赶巧的是，德国人古登堡在这个时候发明了印刷术，这些书籍就开始大范围地流传，世俗教育也随之兴起。这意味着，学习和研究再也不是少数人的特权，古代那种一个大师的死亡，就能导致一个学科断层的现象，不会再出现了。欧洲人通过学习祖先的知识，逐渐兴起了一个潮流，那就是把古希腊人当偶像，像他们那样崇尚科学理性，追求身心完美，还要把他们的知识和艺术发扬光大。所以，数学和其他自然科学，经过一千多年的原地踏步，终于有了进步的机会，而这种进步首先在艺术领域开花结果，所以那段历史被叫做文艺复兴。
比如 “文艺复兴三杰” 之一的达芬奇，被称为 “人类历史上绝无仅有的全才”，他既会画画，又懂天文，还是发明家、建筑工程师。爱因斯坦说过，达芬奇的科研成果如果在当时就发表，科技可以提前 50 年。当然，他最大的成就还是绘画，留下了很多传世名作。但你可能不知道，达芬奇的名画都是中年以后画的，而他 30 多岁的时候，其实一直在埋头研究高等几何和算法。他还说过，“欣赏我的作品的人，没有一个不是数学家。” 因为在文艺复兴之前，中世纪的画家其实是按照观念体系来画画的。在一幅宗教绘画里，耶稣是最重要的人，他的尺寸肯定是最大的，其他人就小得可怜，区别特别离谱。但是从文艺复兴开始，画家们重新认识到，美术真正需要描绘的，是人所感知到的真实世界，而不仅仅是那些宗教和神话。然而，要想画出准确、丰满、符合透视规律的人物和场景，并不是件容易的事。
举个例子，如果我们用数学家的眼光，去欣赏《最后的晚餐》这幅名作，一定会被达芬奇精准的构图折服。这幅画描绘了《圣经》中耶稣跟 12 门徒共进最后一次晚餐的情景。画面上有 13 个人物，还有背景里的桌台、窗户，这些不同距离、不同比例的物体，全部按照人类眼球对光线的反射规律，准确地展现在同一个平面上，没有一点偏移。研究发现，这其中的奥妙在于，达芬奇严格实践了射影几何中的 “没影点” 原理，这幅画的没影点就在耶稣的右太阳穴上。此外，《最后的晚餐》还隐藏着《几何原本》中的另一个重要数学成就：黄金分割。画面里，耶稣被安排在视觉的中心，而叛徒犹大则被放在了黄金分割点上，这是一个并不引人注目、却最让人感觉视觉舒适的位置。同样被放在这个特殊位置的，还有蒙娜丽莎微微上扬的嘴角。黄金分割点的巧妙运用，让达芬奇的画总能给人一种真实的神秘感。
对这些文艺复兴大师来说，数学是美术的必修课，一件作品如果是不科学的，那就是不文艺的。而整个文艺复兴可以说成是艺术和数学的一场美丽邂逅，从那以后，以绘画、雕塑为代表的艺术圈，就纷纷从宗教神秘主义转向了写实主义，那时候的艺术大咖基本都是数学高手。而直到现在，美术生的入门课程仍然是临摹几何体。
因此，作者认为，文艺复兴不仅是艺术的复兴，更是数学研究的复兴。艺术家们转向对客观世界的准确再现，其背后是人类对理性主义的认同和回归。而随着近现代数学进入抽象的多维空间，艺术家们也从中发现了灵感，逐渐摆脱文艺复兴以来那种写实主义的传统，开始把美术当成一个独立的事物看待，而不像达芬奇时期那样，只用它再现直观的世界。以毕加索、塞尚为代表的大画家，在平面的画布上展现多维空间里的美感，开创了抽象画派，这又意味着艺术随着数学的步调一起迈进了现代。
我们可以看到，数学研究的不断进步，也在不断改变着人类的审美习惯，进而改变着艺术的表现形式。凭借绘画这个载体，人类的理性思维和感性思维得到了统一和升华，数学在人类精神文明的幕后一直在默默做贡献。
第三部分
那么，在物质文明领域，数学发挥了多大作用呢？这就是本书的第三个重点，数学和工业文明。
几乎和文艺复兴同步，从 15 世纪后期开始，欧洲的社会生产力开始不断取得突破，第一次工业革命就此闪亮登场。由于蒸汽机大量使用，有关机械运动的研究开始变得热门；航海家发现了新大陆，海上导航需要更精确的天文测量；而频繁的战争要求提升大炮的射程，这又牵扯到函数的极大极小值问题。要解决这类问题，人类以往的数学知识已经远远不够用了，都在呼唤数学上的新突破。
首先创造历史的，是法国数学家笛卡尔。他有句名言你肯定知道，“我思故我在”，这号称哲学史上最有力的命题之一。没错，这位数学家，又是一位大哲人，但这和他的数学贡献比起来，就显得逊色多了。笛卡尔在 1637 年发明了解析几何，也就是我们现在常见的平面直角坐标系。有了这个坐标系以后，才有了函数的概念，几何问题才能用代数的方法研究，才能精确地描述运动和变化。而这个重大突破，也为下一位天才的登场做好了铺垫。
这位天才就是牛顿。他最知名的成就我们都知道，就是提出了万有引力和三大运动定律，奠定了近代物理的基础。但要论起对人类更深远的影响，还要在于他发明了理工科学生的必修课，微积分，开启了高等数学的大门。有趣的是，牛顿当时并没有把微积分发表出来，因为在他看来，这不过是他为了研究物体运动规律，在演算纸上创立的数学工具而已。而德国人莱布尼茨，虽然发明微积分的时间晚了一点，但是发表论文的时间早。那创立微积分的荣誉该给谁呢？现代人和稀泥，一般说微积分是由牛顿和莱布尼茨共同创立的。但当时的英国和欧洲大陆学术界，为抢这个荣誉互怼了一百多年。
他们之所以怼得不可开交，是因为微积分的发明不止是数学的重大突破，更是科学史上划时代的贡献。在微积分的帮助下，力学、运动学、天文学、化学、生物学等领域开始取得连续的、爆发式的突破，最终掀起了一场科学大发现的浪潮。这场轰轰烈烈的工业革命持续了近 200 年，把人类从农耕文明带进了工业文明，也彻底改变了我们的生活。举个例子，要是没有微积分，就没有流体力学的创立和发展，我们今天出门时，就不会有坐飞机这个选项。人类之所以能摆脱重力的影响，除了莱特兄弟的努力，根本上应该归功于微积分对物理学的巨大推动。除此之外，科学的进步带来了思想的启蒙，人们发现，以前那种 “上帝万能” 的信仰其实特别可笑，只有依靠古希腊式的理性精神，人类才能求得真理，而数学推理就是理性最纯粹的形式。一个学科能不能获得大发展，就取决于它和数学融合得紧不紧，数学也就成了打开知识大门的金钥匙，被称作“科学皇后”。
所以你看，正是以微积分为代表的数学成就，彻底改变了人类物质文明的面貌。而巨大的成功，也给数学家们带来了巨大的自信，他们开始觉得，数学这种完美的逻辑规律，能套用到人类任何知识领域，除了自然科学以外，哲学、宗教、经济、艺术领域的问题，都可以用数学逻辑来解决，数学就是人类文明发展的终极奥义，宇宙中的绝对真理。比如笛卡尔就说过，世界上的一切问题其实都是数学问题，最终都能归结于 “解方程” 的问题。莱布尼茨更厉害，他尝试创造一种包罗万象的数学性语言，以数学为起点，把人类的思维分成几个互不重叠的部分，把人类的一切问题都用数学逻辑解决掉。那么他们的想法能不能实现呢？这就是我们要说的第四个重点，数学到底是不是宇宙的绝对真理。
第四部分
其实在 19 世纪前的两千多年，科学界一直确信，欧几里得在《几何原本》里建立起的平面几何体系和围绕它建立的数学理论，就是绝对的真理。这些理论在人类的经验范畴里，毫无疑问是正确的，再加上笛卡尔和牛顿这些天才的贡献，让欧式几何走上了巅峰。德国哲学家康德，又在它的基础上建立了古典哲学体系，他断言物质世界必然是欧几里得式的，欧氏几何就是真理，神圣不可动摇。
但到了 19 世纪，德国的 “数学王子” 高斯，发现了一种全新的几何体系。如果我们脱离平面的束缚，在弯曲的面上讨论问题，会得出另一套数学理论，高斯把它命名为“非欧几何学”。但因为当时康德哲学在欧洲很火，高斯自己又是成名已久的大家，他担心这个发现公布以后会受到舆论的攻击，嫌麻烦，所以生前一直没发表。直到 19 世纪中叶，数学家黎曼正式发表了非欧几何学的论文，人们才意识到，世界不是平面式的，曲面上有着完全不同的数学规则，比如三角形的内角和不等于 180 度，过直线外一点能做出无数条垂线，等等。这么看来，人类研究数学几千年，还是在经验主义的范畴里转圈，建立在欧氏几何基础上的数学也只是经验的产物，欧式几何的神话到此就破灭了。
就这样，非欧几何学又成了数学史上的里程碑。和前面说过的微积分不太一样，它的出现并不是由于社会生产需要，而是数学理论本身的自我完善。此后，数学除了逻辑严密，还多了一个特点，那就是高度抽象，科学家的思维也开始进入抽象空间，去建立新的体系。比如爱因斯坦发现，在原子数量级的微观世界，非欧几何学刚好是适用的，并在此基础上发明了相对论。
非欧几何学虽然颠覆了人们日常的经验，但经过拓展的数学，还是可以解释世界的。可进入 20 世纪之后，英国数学家罗素发现，笛卡尔那种数学能解决一切问题的设想，确实是行不通的。比如，他提出了一个著名的 “理发师悖论”，你可能也听过，是说一个乡村理发师宣布了一条原则说，他给所有不给自己理发的人理发，并且只给这个村里这样的人理发。那问题来了：理发师给不给自己理发呢？如果他不给自己理发，他就属于 “不给自己理发的人”，那他就要给自己理发；而如果他给自己理发呢，他又属于 “给自己理发的人”，他就不该给自己理发。
说起来有点绕，这个悖论其实是想说，近代数学里的集合论存在一个大漏洞。这个集合论听着吓人，其实就是咱们高中数学学过的集合 A 集合 B、交集并集那些知识。集合论在数学中的地位非常特殊，它的基本概念几乎渗透到了数学里的每个角落，几何、代数、概率论里都有它的应用。它出现了漏洞，这个影响之大，还被人们称为 “第三次数学危机”。数学家们进一步意识到，数学自己内部的理论尚且还有矛盾，想把所有领域的知识都数学化基本不靠谱。
随后，美国数学家哥德尔提出了哥德尔不完备定理，明确了一个事实：没有哪一部分的数学是完美无缺的，它也不可能完美无缺。对于一个命题，如果它是可以证明的，那它一定是对的，但如果它不能被证明，也不能说它就是不对的。这意味着，人的智慧永远不能被数学逻辑完全替代。古希腊毕达哥拉斯 “万物皆数” 的观点，经过几千年的起起落落，正式被终结。音频开头我们说的，伽利略关于宇宙真理的断言，也仅仅说对了一半。数学完全有资格成为人类文明程度的象征，但它也仅仅是人思想的产物，够不上真理的范畴。现代科学家达成了共识，除了数学语言以外，音乐语言、图像语言都能达成和外星生命的交流。比如今年 6 月，英国科学家试着用射电望远镜，把二进制图像发送到 40 光年外的类地行星。所以作者说，我们生活的宇宙里，根本不存在绝对的真理。
当然，如果从另一个角度讲，数学也因此获得了自由，数学家可以天马行空地去研究问题，不用再受到人类认知的局限。即使一个数学结论看起来很荒诞、很抽象，也必然有它存在的价值。比如量子力学、混沌理论、小波变换这些特别抽象的科学分支，就是抽象数学发展的产物。而当下最热门的区块链和人工智能领域，更是网络技术对数学算法的再现，不管多么高深的程序代码，扒开来看都是枚举、递归、排序、集合等等数学理论。这些都说明，人类的意识跟随数学的脚步，开始向未知的领域拓展，人类文明也将不断超越熟悉的世界，得到新的发展。
总结
首先我们讨论了数学和精神文明的关联。在哲学领域，古希腊人运用数学逻辑建立哲学体系，把理性主义的思维方式发扬光大，深刻影响了西方人的精神世界。
随后，作者帮我们找出了数学和艺术的联结点。在文艺复兴时代，美术家和数学家们取得了惊人的默契，用数学的精巧构图再现人文主义思想，推动了文化的发展进步。
之后，我们说了高等数学的发展对物质文明的巨大推动。从根本上讲，是以微积分为基础的自然科学大发展，让工业革命彻底改变了人类社会的面貌。
最后，我们讨论了近现代数学的新突破。数学并不是世界的终极真理，当代数学进入抽象的多维空间，这不仅是文明发展的需要，也是数学本身的发展结果。
某种意义上讲，数学的发展史，就是人类理性精神的进化史。西方人在理性主义思想的影响下，推崇严谨完美的逻辑，擅长用演绎推理的方法搞研究，不仅创造了古典哲学体系，其实也孕育了民主法制的人文思想，这是近代西方崛起的一个重要因素。对我们现代人来说，只有摆脱经验主义的狭隘，用更开阔的思维去探索世界，科学才能不断进入新领域，而数学作为最重要的基础学科，一定会在科学发展的新潮流里发挥更大的作用，帮助人类创造出更加辉煌的文明。