《GEB-EGB》-怪圈：递归及符印数论

一、怪圈——互指
克里特岛的人都是说谎者，其他系统可能存在经过多步才互指；
多层次结构的互相缠绕；
层次的结构的底层——对象语言，于是需要元语言，以此下去。
罗素和怀特海《数学基础》——目标从逻辑学推导出所有数学。取消自指，但失败。
元数学——数学本身的研究，数学推理的真正性质
《当我们身陷危难之时》
卡农——赋格；
芝诺——运动不存在；

二、形式系统：符印数论

1、TNT印符数论
   S0,S表示后继，即一个大于0的正整数。
   原子：陈述相等的串(只有SO=) 如SS0=S0;若是~(SS0+S0)=SSS0则为复合公式，因为有~这个符号了。
   变元：      S0+SS0  结果就是变元
   自由变元：谓词      如b+S0=SS0,其中的b为自由变元，组成的串仅表达一个性质      这叫开公式  
   量词：   比如对任何数(倒A)，全程断言或存在一个数(反E)，存在断言
   量化变元：经过量化的自由变元，它表达了一个真实或虚假断言  这叫闭公式
2、注意：当短语为——不存在b和c，不要都否定，只需否定一个。
3、TNT良构规则表：
     数字：0、S0、SS0、…
     变元：a、b、c、r、s…
     项：由数字与变元构成，分成确定与不确定项
     原子：如果s、t是项，则s=t是原子；
           前面加~的良构公式是良构的。
     复合：如果x、y是良构公式，并且没有变元在一个里是自由另一个里是量化的，则是良构公式。
     量化：如果u是变元，x是良构，u是自由的，则为良构公式 倒A b:
     开公式：至少一个自由变元   ～c=c 
     闭公式：不含自由变元  S0=0或 ～倒A d:d=0
4、TNT公理与推理规则：
    定理：
    公理1：倒A a：～Sa=0
    公理2：倒A a：a+0=a
    公理3：倒A a：倒A b: (a+Sb)=S(a+b)      【S能在加法里滑来滑去】
    公理4：倒A a：(a*0)=0

    公理5：倒A a：倒A b:(a*Sb)=((a*b)+a)

 Latex软件可以打任何数字的东西，及各种符号。

5、五条皮亚诺公设，第5条即是数学归纳法的原理，也是继承论证的另一说法。
   怪物、神怪和元——0、自然数和后继数
    公设1：怪物是一个神怪；
    公设2：每一个神怪有一个元；
    公设3：怪物不是任何神怪的元；
    公设4：不同的神怪有不同的元；   (这个如何翻译成TNT记法？)
    公设5：若怪物有x，且每个神怪都把x传递给它的元，则所有神怪都有x。
6、TNT新规则：特称和概括
   特称规则(取)：
     u是串x变元，若倒A u:x是定理，则x是定理，且u做任何替换后的串也是定理，但必须用同一个项替换。
       例: 倒A a：～Sa=0   公理1
           ～S0=0          特称(将a变成0，依然是定理)
           ～S(c+SS0)=0  
       限制：替换的项不能包含x中被量化的变元；(新项不能含有已量化的变元)
   概括规则(放)：x是定理，变元u是自由出现的，则倒A u：x是一个定理。
       可将全称量词放回到一些定理中。
        例：～S(c+SS0)=0          注意：c为自由变元
           倒A c: ～S(c+SS0)=0    可将c放前面 
       限制：幻想里，不允许对任何自由出现在该幻想的前提中变元作概括；(量化的变元不能动它)
   互换规则：u是变元，串倒A u:～与～反E u:在任何地方均可互换！
       例：倒A a：～Sa=0        公理1
           ～反E a：Sa=0        互换   (～变换时，倒A与反E也变换)
   存在规则：项出现一次或多次，其都可用不存在定理里的变元替换，而存在量词需放最前面。
       例：倒A a: ～Sa=0        公理1
           反E b:倒A a: ～Sa=b  存在
   等号规则：
       对称：如果r=s是定理，则s=r也是定理；
       传递：如果r=s和s=t是定理，则r=t也是定理；
   后继规则：
       加S: 如果r=t是定理，则Sr=St是定理；
       去S: 如果Sr=St是定理，则r=t是一个定理；
   归纳规则：u是变元，X{u}是一个u在其中自由出现的良构公式。
       例：如果 倒A u：< X{u}→X{Su/u}> 以及X{0/u}二者都是定理，则倒A u：X{u}也是定理。
           X{Su/u}：表示每个u都被Su替换。
7、多级瀑布——定理金字塔：
     (0+0)=0
     (0+S0)=S0
     (0+SS0)=SS0
     (0+SSS0)=SSS0
     (0+SSSS0)=SSS0
        等等
     全称量化概述串：倒a a：(0+a)=a
8、问题：需从外部系统进行考察才有效！！！所以，不能放到形式系统规则里。
     假设的全规则：如果金字塔的串都是定理，则用来概述他们的全称量化的串也是定理。
9、ω不完全性：ω念欧米伽，全体自然数有时也记作ω。
     定义：一个系统是ω不完全的，如果在一个金字塔中，所有串都是定理，而全称量化的概述串却不是一个定理。
     注意此时：～倒A a：(0+a)=a 也不是TNT定理，它意味着那个串在系统里是不可判定的，即表明该系统是可扩充的。
10、非欧几里得TNT：
    ω的不一致性：所有定理集合断言所有自然数性质与单个定理断言非所有自燃数性质，其不一致性称为ω不一致性。
11、形式推导的典型结构，也是非形式证明的典型结构P332-P334