Tarjan

这是一个解决图的问题十分有效的一个算法：Tarjan（塔扬算法）
它快在哪里？它可能将一个上十万个点的复杂图化为100个点以内的简单图。
这就引进了“强连通分量”（SCC）的概念：有向图中任意两点都连通的最大子图叫做强连通分量。
例如下图就是一个：
 1 → 2
↑↙↑ （G）
 3 → 4                    以2为例 2→1:2→3→1    2→3:2→3    2→4:2→3→4
你可以自己看看1,3,4 都可以与其它所以点连通                （注：1个点也算是一个强连通分量）
那么我们可以将G浓缩为一个点，因为它们内部是完全连通的。
而Tarjan则正是查找出这一个个强连通分量的利器（Θ(n+m)）
Tarjan算法是一种基于dfs的算法，它一张图当做一棵搜索树来搜索，每一个强连通分量作为搜索树上的一个子树。
Tarjan算法中 我们定义：
dfn[x]:x点的时间戳，简单来说就是第几个被搜索到的，当然每个点的时间戳都不一样的，这就是一种很好的编号方式。
low[x]:x点所在的SCC中，它能回到的最早祖先的dfn值。
它的实现过程是这样的：（这里比较晦涩难懂，看到后面就好了。）
一、用栈来存储一些点，表示这些点即将各自被匹配在某一个SCC中，所以每一个新节点出现，就进栈。
二、当前节点的low和dfn都赋值为当前时间戳
三、若当前节点x有出度，继续深搜，那么这个点有2个情况：
1.已被访问，又有2种情况：
①在栈中，说明它还有加入当前要找到的SCC的可能，用它的dfn更新low[x]，即low[x]=min(low[x],dfn[***])
②不在栈中，说明它已经找到了自己的SCC，没有价值了。
2.未被访问（当然不在栈中）
对它进行递归，回溯后用它的low更新low[x]，即low[x]=min(low[x],low[***])
四、最后看当前节点的low是否还等于dfn，若等于，说明它是一个搜索树的根节点，那么它及栈中以上的节点均构成1个SCC。


那么先带着疑惑看我模拟一遍算法，再做解释：
写了一个模板题：
【题目描述】
求有向图的强连通分量
【输入格式】
第一行两个正整数n，m（1<=n,m<=10000），分别表示点数及边数
第二行到第m+1行，每行2个正整数u，v（1<=u,v<=n）,表示1条有向边u→v
【输出格式】
共x行
x表示强连通分量的个数。
每行一组强连通分量
格式：{元素1,元素2……元素k}
每个元素按升序排列
【输入样例#1】
6 8
1 2
3 4
2 4
3 5
5 6
1 3
4 1
4 6
【输出样例#1】
{1,2,3,4}
{5}
{6}
【输入样例#1】
12 17
5 7
1 2
2 5
6 3
7 8
2 3
2 4
5 2
11 12
7 10
6 8
5 6
3 6
9 7
10 9
8 11
12 10
【输出样例#2】
{1}
{2,5}
{3,6}
{4}
{7,8,9,10,11,12}
【备注】
样例1图像：
 1 →  3 → 5
 ↓ ↖  ↓      ↓
 2 →  4 → 6


样例2图像：
1 →    2   →  3
    ↙   ↓↑      ↓↑
  4       5   →  6
           ↓       ↓
           7   →  8
       ↗  ↘       ↘
      9  ← 10        11
                   ↖   ↙
                       12


就用样例一来模拟吧。


dfn:  dfn:   dfn:
low:  low:  low:
 1 →  3 → 5
 ↓  ↖  ↓    ↓
 2 →  4 → 6
dfn:  dfn:   dfn:
low:  low:  low:


栈：NULL


先赋值当前节点x为1。按算法介绍二更新dfn，low，并深搜1（1→3→5→6）


dfn:1 dfn:2  dfn:3
low:1 low:2 low:3
 1 →  3 → 5
 ↓ ↖  ↓      ↓
 2 →  4 → 6
dfn:  dfn:   dfn:4
low:  low:  low:4


栈：
6
5
3
1


到6了以后，发现自己没有出度来dfs了！准备回溯前，发现自己dfn=low都是4，说明自己以及栈中在自己以上的构成了一个完整的强连通分量，所以我们得到了一个强连通分量：{6}


回溯到了5，根据算法介绍，low[5]=min(low[5],low[6]）,还是3；它的所有出度也都遍历完了，回溯前发现自己的dfn=low，所以也找出了一个SCC:{5}（同上面对6的操作），并回溯到3。


dfn:1 dfn:2  dfn:3
low:1 low:2 low:3
 1 →  3 → 5
 ↓  ↖ ↓      ↓
 2 →  4 → 6
dfn:  dfn:   dfn:4
low:  low:  low:4


栈：
3
1


这下3还有一个出度：3→4！发现4还未被访问，所以继续搜4，并将4入栈。
dfn:1 dfn:2  dfn:3
low:1 low:2 low:3
 1 →  3 → 5
 ↓  ↖ ↓      ↓
 2 →  4 → 6
dfn:  dfn:5  dfn:4
low:  low:5 low:4
栈：
4
3
1


4的第一边是4→6，它正兴致勃勃要去dfs6，发现6已被访问了，在一看栈，原来6不在栈中，说明6已经不可能属于当前的SCC了，所以在看下一条：4→1，这下就今非昔比了，1在栈中！当然要更新了！low[4]=min(low[4],dfn[1])=1。回溯前判断，low=1,dfn=5,low≠dfn。回溯到3。
去更新low[3]=min(low[3],low[4])=1。回溯前判断low≠dfn。回溯到1。


dfn:1 dfn:2  dfn:3
low:1 low:1 low:3
 1 →  3 → 5
 ↓  ↖  ↓     ↓
 2 →  4 → 6
dfn:  dfn:5  dfn:4
low:  low:1 low:4
栈：
4
3
1


1找到了下一条边1→2，2没有被遍历，继续dfs。到了4，发现4被遍历了，且在栈中，low[2]=min(low[2],dfn[4])=5，判断low≠dfn，回溯到1。


dfn:1 dfn:2  dfn:3
low:1 low:1 low:3
 1 →  3 → 5
 ↓  ↖  ↓    ↓
 2 →  4 → 6
dfn:  dfn:5  dfn:4
low:  low:1 low:4
栈：
2
4
3
1


1也没有出度了，以判断，咦！low[1]=dfn[1]=1,1在栈中以上的的所有构成一个SCC:{1,2,3,4}




这下以1为起点的Tarjan就完了。
找到了3个SCC:{1,2,3,4}，{5}，{6}
提示：对于这个样例，一次Tarjan就可以把整张图的SCC都找出来了，但是，实际上还要继续遍历每个点，如果没被访问再让x等于那个点，再Tarjan。


对于算法的过程大家应该懂了，但是可能有一些道理没想通（如果你认为你懂了，可以跳过）
1.为什么说x出了栈，就不会和其它的强联通分量掺和了？
答：只要这个节点出栈，那就说明它找到了自己的强连通分量，如果还和其它点也是强连通分量，那么那些点也和x找到的强连通分量构成整个大的强连通分量，所以这与“它找到了自己的强连通分量”矛盾，所以不可能。
2.为什么被访问过（且在栈中）的点用dfn更新x，没被访问过的点回溯到x时用low更新x？
答：从定义来说，都用low来更新好像更好（不能都用dfn更新），其实这都是一样的，访问过（且在栈中）的点用low，dfn更新x都正确，用dfn来仅仅是为了与割点割边里的代码保持一致而已，显得更方便好看。

看一看代码吧

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include

语种：C++