高斯滤波/高斯平滑/高斯模糊的实现及其快速算法(Gaussian Filter, Gaussian Smooth, Gaussian Blur, Fast implementation)

网上介绍针对图像进行高斯模糊的文章不少，其原理比较简单，这里就不做过多介绍。这里简单总结一下实现高斯模糊的几种算法(假设图像大小是M*N，filter的半径是r，注意，很多文章使用的术语是filter size，指的是半径大小或者直径大小，一般情况下filter的半径r取3倍或者4倍的sigma)：

1.最原始的实现方法是，使用高斯函数生成高斯模板，然后使用该模板对图像做卷积(convolution)。该方法的算法复杂度是O(M*N*r^2)，也就是，对每个像素而言，复杂度是O(r^2)，与滤波器大小成quadratic关系。如果增大滤波器size，算法会明显减慢。

下面是Matlab实现的代码（注意，为了代码方便，以下代码中出现的filter size均指滤波器直径，而不是半径!）：

function [T] = GenGaussFilterKernel(size, sigma) 
% here the size is the diameter of the filter

if mod(size, 2) == 0
    size = size + 1;
end

T = zeros(size, size);
distMat = zeros(size, size);
centerIdx = ceil(size / 2);

for i = 1:size
    for j = 1:size
        distMat(i,j) = sqrt(abs(i - centerIdx) ^ 2 + abs(j - centerIdx) ^ 2);
    end
end

T = exp(-distMat.^2 / (2 * sigma^2));

 

function [img_ext] = PaddingImgByMirrorEdge(img, r)

[h,w] = size(img);

% make a larger image, mirror the edges
img_ext = zeros(h + 2*r, w + 2*r);
img_ext(r+1:h+r, r+1:w+r) = img;
img_ext(1+r:h+r, 1:r) = flipdim(img(1:h, 2:r+1), 2); %add left border
img_ext(1+r:h+r, w+r+1:w+r+r) = flipdim(img(1:h, w-r:w-1), 2); %add right border
img_ext(1:r, 1:w+r+r) = flipdim(img_ext(r+2:r+r+1, 1:w+r+r), 1); %add up border
img_ext(h+r+1:h+r+r, 1:w+r+r) = flipdim(img_ext(h+r-r:h+r-1, 1:w+r+r), 1); %add bottom border

 

function [I] = ImageConvolution(img, filterKernel)

[h,w] = size(img);
filterSize = size(filterKernel);
r = floor(filterSize(1) / 2);

I = zeros(h, w);

% make a larger image, mirror the border to extend it
imgExt = PaddingImgByMirrorEdge(img, r);

% convolution
sumFilter = sum(sum(filterKernel));
tempRegion = zeros(filterSize);
for i = 1 : h
    for j = 1 : w
        tempRegion = imgExt(i:i+2*r, j:j+2*r);
        I(i,j) = sum(sum(double(tempRegion) .* filterKernel)) / sumFilter;
    end
end

I = uint8(I);

2.高斯滤波器的kernel是可分离的(separable)，也就是说，可以将2D的高斯kernel分解为两个1D的kernel，先沿x方向对图像进行1D高斯kernel的卷积，然后沿y方向对图像进行1D的高斯kernel卷积，最后的结果和使用一个2D高斯kernel对图像卷积效果是一样的。这样一来，针对每个像素，滤波器的算法复杂度降为O(r)。

3.使用FFT-based convolution。因为图像的convolution等价于FFT转换后频域的乘积，所以可以将高斯kernel扩展至与图像同等大小，然后分别对图像和高斯kernel进行FFT变换，然后直接将两者的FFT结果图像按照per pixel的方式相乘，最终结果再逆FFT变换回去。该算法总体复杂度为O(M*N*log(M*N))，针对每个像素，滤波器的复杂度为O(log(M*N))。可以看到，当滤波器size比较小时，该算法不如使用可分离的1D高斯卷积，而当滤波器size比较大(r > log(M*N))时，FFT-based卷积速度会比较快。使用Matlab实现基于FFT的高斯模糊，这里有一篇讲解非常详细的文章。

Matlab代码如下（注意，为了代码方便，以下代码中出现的filter size均指滤波器直径，而不是半径!）：

function [I] = GaussianSmooth(img, filterSize, sigma, is_use_fft)
% here the size is the diameter of the filter

if nargin < 4
    is_use_fft = 1;
end

T = GenGaussFilterKernel(filterSize, sigma); %generate gaussian kernel
[h, w] = size(img);
[d1, d2] = size(T);
r = floor(d1 / 2);
r1 = floor(h / 2);
r2 = floor(w / 2);

if is_use_fft == 0
    % use convolution to implement
    I = ImageConvolution(img, T);
else
    % use fft to implement Gaussian smooth
    extImg = PaddingImgByMirrorEdge(img, r);
    extT = zeros(size(extImg)); %extend filter kernel to the same size
    extT(1:end-h+1, 1:end-w+1) = T; %just place the original kernel on the topleft
    
    fftImg = fft2(extImg);
    fftT = fft2(extT);
    resFFT = fftImg .* fftT; %multiply the FFT result
    resI = ifft2(resFFT); %inverse FFT
        
    % calculate coefficients of Gaussian smooth
    extCoef = ones(size(extImg));
    fftCoef = fft2(extCoef);
    resCoef = fftCoef .* fftT;
    resC = ifft2(resCoef);
    
    % output image
    I = uint8(resI ./ resC);
    I = I(2*r+1:2*r+h, 2*r+1:2*r+w); 
end

4.递归高斯滤波(Recursive Gaussian Filter)算法。比上面的算法更进一步，有人提出一些approximate高斯滤波的算法，可以使算法速度不依赖于滤波器size，针对每个像素而言，滤波器的算法复杂度是O(1)级别的。这方面的算法原理介绍比较复杂，要理解信号处理相关的知识才能理解(如z变换等，参见如下参考文献)。所幸的是，算法本身其实相当简单，大概思路是正向扫描一遍并累积像素值（累积时使用特定的系数可以approximate高斯kernel），然后再反向扫描一遍并累积像素值，done！而且算法也是separable的，可以x和y方向分别做，所以速度可以达到非常之快！有相关的代码在此，NVIDIA也有CUDA代码在此，最新的GPU快速算法见这里。原理可以参考这里和这里。以下是几篇这方面的参考文献：

[1] Rachid Deriche - "Recursively implementing the Gaussian and its derivatives", 1993.
[2] Lucas J. van Vliet, Ian T. Young and Piet W. Verbeek - "Recursive Gaussian derivative Filters", 1998
[3] Dave Hale, "Recursive Gaussian Filters", CWP-546
[4] Luis Alvarez, Rachid Deriche, Francisco Santana - "Recursivity and PDE's in Image Processing", 2000