【力学•一】运动方程

　　经验表明，在一个运动规律已知的系统中，给定某一时刻所有质点的坐标和速度信息后，任意其他时刻所有质点位置信息原则上都可以确定。此经验即决定论思想来源。亦即，在某一时刻给定所有广义坐标 q 以及速度 q˙ 就唯一确定了该时刻的加速度 q¨ ，进而确定了更高阶速度。而加速度关于坐标与速度的函数关系则称运动方程。运动方程的解即为质点运动。

最小作用量原理

　　亦称哈密顿原理，声称，每一个力学系统都存在一个确定的关于坐标、速度和时间的函数，称拉格朗日函数 L ，使得其实际运动作为这个函数在任意两时刻之间作用量泛函 S 的极小元。即，存在

L=L(q,q˙,t),

使得任何实际运动 q=q(t) 总是极小化

S=∫t2t1L(q,q˙,t)dt,∀(t1,t2)∈R2.

　　注意拉格朗日函数只与位置和速度有关，为决定论经验的具体体现。由变分原理易得 q=q(t) 为实际运动当仅当

∂L∂q=ddt∂L∂q˙,

称拉格朗日方程。当 L 给定时，为二阶常微分方程，将 q 与 q˙ 联系在一起，即为该系统的运动方程。其全体解为全体实际运动。两个积分常数分别对应初始位置和速度。
　　反之，对应一个运动方程的拉格朗日函数并不唯一。设 ∂L∂q≡ddt∂L∂q˙ ，此时拉格朗日方程左端为关于 (q,q˙,t) 之函数，右端为关于 (q˙,q¨,t) 之函数，故而可设 L=F(q˙,t)q+C(q˙,t) ， 代入拉格朗日方程，可得

L=ddt[c1q2+c2q+E(t)+q∫t2t1D(t)dt].

　　反之，当两个拉格朗日函数相差一个倍数或关于 (q,t) 函数的全导数项时，易证所导出的拉格朗日方程等价。即对应于同一个运动方程的拉格朗日函数并不唯一，为一个子空间 Leq ，同时关于 (q,t) 函数的全导数项构成的子空间 L0 平移不变。拉格朗日函数之间的等价关系以 ∼ 表示。显然 L0⊊Leq ，但是否成立 codimLeqL0=1 尚未明。猜测不是。

伽利略相对性原理

　　经验表明，存在在其中空间均匀、各向同性，时间均匀的参考系，称惯性参考系。在惯性参考系中的自由质点的拉格朗日函数，由时空的假设，可得 L=L(|q˙|2) ，代入拉格朗日方程得 q˙=const ，即惯性参考系中运动的质点速度保持不变，即惯性定律。注：此定律由时空性质假设而导出，与伽利略相对性原理成立与否无关。
　　经验表明，在相互作匀速直线运动的参考系中物理定律的形式一致。此即伽利略相对性原理。具体为，运动方程在伽利略变换，即

Gv:R3×R3×R→R3×R3×R:(q,q˙,t)↦(q+vt,q˙+v,t)

下一致。

单自由质点的拉格朗日函数

　　由上假设，自由质点的拉格朗日函数应满足

L(q,q˙,t)∼L∘Gv(q,q˙,t),

特别地，对 L∘Gv 在 v=0 处泰勒展开至第一项（将一般的变换转为和，从而可以利用上节中的 L0 ），有

vTddv(L∘Gv)=vT∂L∂qt+vT∂L∂q˙∈L0

　　由时空均匀假设， L=L(|q˙|2) ，得

2dLd|q˙|2vTq˙∈L0,

故有 dLd|q˙|2vTdqdt=ddtE(q,t) ，从而得出 dLd|q˙|2=const ，即

L=m2|q˙|2,

其中任意常数 m∈R++ ，否则违反最小作用量原理。 m 在单质点系统下无意义，在质点系之下有实际意义。

封闭质点系的拉格朗日函数

　　此时质点之间有相互作用，故拉格朗日函数可表为

L=:=∑i=1nmi2|q˙i|2−U(q1,⋯,qn)T−U.

　　此时质点之间的作用通过拉格朗日方程给出：

−∂U∂qi=miq¨i,

这里 mi 之间的比例，根据经验，便具有实际意义，相互之间不再独立（代表着实验中体现出的质量之比）。此运动方程称牛顿方程，左端定义为作用在第 i 个质点上的力。

非封闭质点系的拉格朗日函数

　　此时质点系 A 与运动完全已知的质点系 B 相互作用，且 A+B 构成封闭质点系。此时整体的拉格朗日函数为

L=TA+TB−U(qA,qB).

由质点系 B 运动已知， qB 与 TB 为关于时间的函数，故

L∼TA−U(qA,qB(t)),

与封闭质点系仅有的差别为 U 亦为关于时间的函数。