树上倍增的写法和应用(详细讲解,新手秒懂)



        最近做了一些树上的练习题,发现倍增真的是一种处理树上问题的神奇、方便的方法。
我以前一直打树链剖分打得多,但是学了倍增之后就再也不想打树链剖分了(当然有些题目不得不打)。
倍增比起树链剖分,代码短,容易查错,时空复杂度也优很多(nlogn),只是功能有些欠缺。


倍增的思想是二进制。

        首先开一个n×logn的数组,比如fa[n][logn],其中fa[i][j]表示i节点的第2^j个父亲是谁

然后,我们会发现有这么一个性质:

                       fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1]

        用文字叙述为:i的第2^j个父亲 是i的第2^(j-1)个父亲的第2^(j-1)个父亲

        这是不是很神奇?这样,本来我们求i的第k个父亲的复杂度是O(k),现在复杂度变成了O(logk)。

        我们知道,一个数的二进制形式中,如果右边数第i位上是1,表示这个数如果分解为若干个2的次幂的和的形式,其中有一项一定是2^(i-1)。举个例子:10的二进制表示为1010,它的第2位和第4位上是1,所以10=2^1+2^3。

        下面是求i的第k个父亲的代码段:


int father(int i,int k)
{
    for(int x=0;x<=int(log2(k));x++)
        if((1<第(x-1)位上是否为1
            i=fa[i][x];     //把i往上提
    return i;
}

        这样讲应该很容易理解吧?

        我们可以通过一次dfs处理出fa数组:(dep[i]表示i的深度,这个可以一起处理出来,以后要用)

如果待处理的树有n个节点,那么最多有一个节点会有2^(logn)个父亲,所以我们的fa数组第二维开logn就够了。

这里用max0表示logn。初始化fa为0,若fa[i][j]=0表示i没有第2^j个父亲。


void dfs(int x)
{
    for(int i=1;i<=max0;i++)
        if(fa[x][i-1])   //在dfs(x)之前,x的父辈们的fa数组都已经计算完毕,所以可以用来计算x
            fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
        else break;    //如果x已经没有第2^(i-1)个父亲了,那么也不会有更远的父亲,直接break
    for(/*每一个与x相连的节点i*/)
        if(i!=fa[x][0])     //如果i不是x的父亲就是x的儿子
        {
            fa[i][0]=x;       //记录儿子的第一个父亲是x
            dep[i]=dep[x]+1;      //处理深度
            dfs(i);
        }
}

         这样,我们在nlogn的时间内可以通过一遍dfs处理出这棵树的相关信息。然后就可以在logn的时间内完成一些操作。

        倍增的应用中,最基础的应该就是求LCA(最近公共祖先),时间复杂度是logn。

        对于求u、v的LCA,我们可以先把u、v用倍增法把深度大的提到和另一个深度相同。如果此时u、v已经相等了,表示原来u、v就在一条树链上,直接返回此时的结果。

        如果此时u、v深度相同但不等,则证明他们的lca在更“浅”的地方,此时需要把u、v一起用倍增法上提到他们的父亲相等。为啥是提到父亲相等呢?因为倍增法是一次上提很多,所以有可能提“过”了,如果是判断他们本身作为循环终止条件,就无法判断是否提得过多了,所以要判断他们父亲是否相等。不懂的可以详见代码:


int LCA(int u,int v)
{
    if(dep[u]=0;x--)     //注意!此处循环必须是从大到小!因为我们应该越提越“精确”,
        if(fa[u][x]!=fa[v][x])   //如果从小到大的话就有可能无法提到正确位置,自己可以多想一下
        {
            u=fa[u][x];
            v=fa[v][x];
        }
    return fa[u][0];    //此时u、v的第一个父亲就是LCA。
}

        

        倍增还可以有很多变化,这让倍增法可以优更多的变化。比如用data[i][j]记录i到他的第2^j个父亲的路径长度,就可以边求LCA边求出两点距离,因为data[i][j]满足倍增的递推式:data[i][j]=data[i][j-1]+data[fa[i][j-1]][j-1]。或者用maxlen[i][j]记录i到第2^j个父亲的路径上最长边的边权,它满足maxlen[i][j]=max{maxlen[i][j-1],maxlen[fa[i][j-1]][j-1]},这样就可以快速求出两点路径上最长边的边权……

        总之,倍增是一种较为基础的处理树的方式,一定要熟练掌握,可以打几个模板题先做做,然后找一些经典的倍增习题。

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