假设检验(hypothesis testing)及P值(p-value)

前一篇t检验的文末提到了P值的概念，P值实际上是医学统计中很常用的一个概念，那么这篇文章继续讲解什么是P值。说到P值，就得先从假设检验说起。

首先声明，此篇的内容是来自"马同学高等数学"微信公众号的内容。

 

目录

1、什么是假设检验

2、P值

2.1     为什么要把更极端的情况加起来？

3、显著水平

4、与置信区间的关系

参考文献：

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1、什么是假设检验

抛硬币是概率统计学中很经典的一种实验方法，也是我们生活中一种常见的决策手段。通常意义下抛硬币和抽签是一样的，都是公平的。所谓的硬币是公平的，也就是“花”和“字”出现的概率是差不多的。然后，你想和我打赌，作为一个资深的理智赌徒，我怎能听信你的一面之词，我提出要检查下你的硬币到底是不是公平的，万一是两面“花”怎么办？电影里面不是经常出现这样的桥段？

                             

你神色紧张，死活不让我检查，后来我们提出了折衷的方案，抛几次硬币，看看结果是不是公平的。总共扔了两次，都是“花”朝上，虽然几率是  ，但是也正常，继续扔。总共扔了四次，也都是“花”朝上，几率是  ，感觉有点不正常，但是万一是运气呢？继续扔。总共扔了十次，也都是“花”朝上，那我就认为很可能你这枚硬币不是公平的。

这就是假设检验：

• 你提出假设：说你的硬币是公平的

• 我提出要检验你的假设：扔十次，看实验的结果是不是和你的假设相符

2、P值

为了完成假设检验，需要先定义一个概念：P值。我们这里就来解释什么是P值？

根据上面的描述，这里假设检验的思路就是：

• 假设：硬币是公平的

• 检验：认为假设是成立的，然后扔十次，看结果与假设是否相符

反复扔硬币应该符合二项分布（这就不解释了），也就是：    ,其中n代表抛掷硬币次数，代表“花”朝上的概率

在我们认为硬币是公平的前提下，扔10次硬币应该符合分布：，下图表示的就是，假如硬币是公平的情况下的分布图：

                              

我扔了十次之后得到的结果是，有八次正面：

                               

这个时候有个数学大佬就出来定义了一个称为 P值（p-value)的概念：

                                                           

罗纳德·艾尔默·费希尔爵士（1890－1962）。

把八次正面的概率，与更极端的九次正面、十次正面的概率加起来：

                           

得到的就是（单侧P值）：         

其实，出现两次正面、一次正面、零次正面的概率也是很极端的：

                        

所以（双侧P值）：     

2.1     为什么要把更极端的情况加起来？

根据扔硬币这个例子，可能你会觉得，我知道八次正面出现不正常就行了，干嘛要把九次、十次加起来？我觉得有这么一个现实原因，比如我要扔1000次硬币来测试假设是否正确。扔1000次硬币用二项分布来计算很麻烦，根据中心极限定理，我们知道，可以用正态分布来近似：

                                     

比如，我扔了1000次，得到了530次正面，用正态分布来计算就比较简单。但是，对于正态分布，我没有办法算单点的概率（连续分布单点概率为0），我只能取一个区间来算极限，所以就取530、以及更极端的点组成的区间：

                                      

我上面只取了单侧P值，说明下：

• 取单侧还是双侧，取决于你的应用

• 什么叫做更极端的点，也取决于你的应用

3、显著水平

总共扔10次硬币，那么是出现7次正面之后，可以认为“硬币是不公平的”，还是9次正面之后我才能确认“硬币是不公平的”，这是一个较为主观的标准。我们一般认为：

                                                                  

就可以认为假设是不正确的。

0.05这个标准就是显著水平，当然选择多少作为显著水平也是主观的。比如，上面的扔硬币的例子，如果取单侧P值，那么根据我们的计算，如果扔10次出现9次正面：

                                           

表示出来如下图所示：

                 

我们可以认为刚开始的假设错的很“显著”，也就是“硬币是不公平的”。如果扔10次出现出现8次正面：

                                                      

呃，这个和我们的显著水平是一样的啊，我们也可以拒绝假设，只是没有那么“显著”了。

4、与置信区间的关系

置信区间，目的是根据样本构造一个区间，然后希望这个区间可以把真值包含进去，但是并不知道这个真值是多少？具体可以参考如何理解 95% 置信区间？而假设检验，则是假设真值是多少，然后检验这个假设是否可能为真。之所以觉得它们有关系，大概是因为它们都提到了0.05。它们之间的关系也简单，如果我们提出来的假设  在样本  的置信区间内，就可以通过测试：

                       

反之，就不能通过：

                            

参考文献：

如何理解假设检验，P值           https://mp.weixin.qq.com/s/tmlaB4nwK0EPxaAmsIVScA