不等式杂谈

高中时期我们都接触过一些极为常用的不等式，笔者曾在学习不等式的过程中做过一些深入的学习，并对一些常用的不等式做出过证明用来巩固复习，而在接触了高等数学并自学数学分析的过程中发现了自己在不等式运用上的一些短板，当时并没有引起笔者的注意，但在学习专业课的过程中发现一些稍微复杂些的不等式在诸如放缩等运算处理中极为重要，考虑到记忆与运用兼并，这里笔者从基本的均值不等式，向量不等并结合杰森不等式着重对Young不等式与Holder不等式做出了较为细致的证明，并结合自己所学一元函数积分学与微分学的相关知识，将上述不等式与重要的柯西-许瓦兹不等式以及闵可夫斯基不等式做出了推导证明。

1.均值不等式：

其中，当n=2时，有我们常用的三角不等式：

当n=3时，不等式有：

均值不等式我们在高中时期就已经接触并能够熟练运用了，且证明方式也丰富多样，笔者这里不做赘述。

2.向量不等式：

对向量不等式进行推广有：

上述三个不等式均为我们接触高等数学常用的不等式，其通过均值不等式可以进行多种形式的推到证明，这三个不等式也是我们证明复杂不等式的主要工具。

3.杰森不等式：
杰森不等式主要描述的是凸函数上的不等式（函数图形为凹弧）即当f(x)在区间i上是严格凸函数时，对

有：

针对关于x的线性组合

有：

综上：均值，向量以及杰森不等式是我们推导复杂关系不等式的基本工具，下面将结合基本不等式给出Young,Holder,Minkanski等重要不等式的推导。

4.Young不等式：
设f(x)是严格单调增加的连续函数(x f(0)=0, 设g(x)为f(x)的反函数，对任意的a,b均大于零成立的不等式为：

且当b=f(a)时等号成立。
证明如下：
对于等式

，f(x)在[0,a]上为严格单调增加的连续函数，x=g(y)为f(x)的反函数，即g(y)也严格单调增加。并将[0,a],[0,f(a)]划分为n等分，其中0=X0
即若f(a)=b则原不等式中的等式情况成立。

若0
若b>f(a)时有：

通过分析法对原始Young不等式进行了证明，下面根据上述证明方式对一般形式下的Young不等式进行证明：
设p>1,q>1,

,则对任意a,b大于等于零，有

，并在

时不等式中等式情况成立。

笔者认为Young不等式是连接基本不等式与高等数学中较为复杂不等式的重要桥梁，而通过Young不等式我们可以对Holder不等式进行较为系统的证明，并在后续对Holder不等式分情况讨论能够得出柯西-许瓦兹不等式以及闵可夫斯基不等式，这样就将我们所熟悉的不等式大体进行了串联。
5.Holder不等式：

证明：

以上就是对Holder不等式的证明，可以发现当p=q=1/2时结论就变成了柯西-许瓦兹不等式。下面对柯西-许瓦兹不等式进行证明。
6.柯西-许瓦兹不等式：（结合同济第七版高等数学给出证明）

证明：

这里也赋上教材中的证明方法，运用的是二次三项式判别式恒小于等于零保证原方程无负值的原理证明的：

7.闵可夫斯基不等式：

参考文献：
1.高等数学.同济第七版.978-7-04-039662-1
2.数学分析新讲.张筑生.978-7-30-100846-1
3.Young不等式的几种证明及应用.邢家省.北京航空航天大学数学系