卷积公式的理解

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卷积公式的由来

• 卷积公式与Laplace变换的联系

  Laplace变换公式：
  $$\begin{gathered} F(s)={\int }_0^{\infty }f(t)e^{-st}\text{d}t \\ G(s)={\int }_0^{\infty }g(t)e^{-st}\text{d}t \end{gathered}$$
  我们希望$C(s)=F(s)G(s)$也可以保持Laplace变换公式的形式：
  $$C(s)=F(s)G(s)={\int }_0^{\infty }c(t)e^{-st}\text{d}t$$
  $c(t)与f(t)、g(t)$的关系就是卷积：
  $$c(t)=f(t)\ast g(t)$$

• 卷积公式推导

  基于laplace变换公式，可以得知
  $$\begin{gathered} F(s)G(s)={\int }_0^{\infty }f(u)e^{-su}\text{d}u{\int }_0^{\infty }g(v)e^{-sv}\text{d}v \\ ={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\infty }f(u)g(v)e^{-s(u+v)}\text{d}u\text{d}v \end{gathered}$$
  上式中二重积分的积分区域为$(u,v)$坐标轴的第一象限，令$t=u+v$，$u=u$ ，可以确定$u$的积分范围为$[0,t]$，$t$的积分范围为$[0,\infty ]$。对微分进行变换
  $$\text{d}u\text{d}v=\frac{\partial (u,v)}{\partial (u,t)}\text{d}u\text{d}t$$
  Jacobian行列式的计算
  $$\frac{\partial (u,v)}{\partial (u,t)}=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial (u)}{\partial (u)}& \frac{\partial (u)}{\partial (t)}\\ \frac{\partial (v)}{\partial (u)}& \frac{\partial (v)}{\partial (t)}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right|=1$$
  即
  $$\begin{gathered} F(s)G(s)={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{t}f(u)g(t-u)e^{-st}\text{d}u\text{d}t \\ ={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}{\int }_0^{t}f(u)g(t-u)\text{d}u\text{d}t \end{gathered}$$
  可以得到卷积公式
  $$c(t)=f(t)\ast g(t)={\int }_0^{t}f(u)g(t-u)\text{d}u$$