计算机视觉中的多视图几何——第一章:2D摄影几何（4.从图形中恢复仿射和度量性质）

射影矫正主要是为了消除平面的透视图中的射影失真，使得原始平面的相似性质能够被测量。在射影变换后的平面中， 当无穷远线${\mathbf{I}}_{\infty }$的像被确定之后，射影失真可消除，而虚圆点被确认之后，仿射失真可消除，仅剩相似失真。

一、仿射恢复

1.1 无穷远线

在射影变换下理想点可映射为有限点，无穷远线${\mathbf{I}}_{\infty }$可映射为有限直线。而在仿射变换下，${\mathbf{I}}_{\infty }$依然映射为无穷远线。推导如下：

结论1 : 在射影变换 $H$下，无穷远直线${\mathbf{I}}_{\infty }$为不动直线的充要条件是 $H$是仿射变换。

仿射变换下，${\mathbf{I}}_{\infty }$不是点点不动的，仿射变换${\mathbf{I}}_{\infty }$被映射为${\mathbf{I}}_{\infty }$的点，当它不是原来的点。只是无穷远线集合不动，而非点点不动。

1.2 由图像恢复仿射性质

根据结论1中无穷远线在仿射变换下为不动直线的性质。如果能够在射影变换所得的平面内找到无穷远直线的象（一般为有限直线），并通过重映射将该有限直线像重新变换为无穷远线，并将这种重映射推广至于整个平面，即可消除射影失真，恢复平面的仿射性质。

如图所示，原始平面${\pi }_1$射影变换所得平面为${\pi }_2$，如果能够在该${\pi }_2$平面能找到无穷远直线${\mathbf{I}}_{\infty }$=(0,0,1)^T的象，即有限直线$\mathbf{I}$。且有限直线$\mathbf{I}$通过矩阵$H$的变换，能够重新转换为无穷远直线${\mathbf{I}}_{\infty }$，那么利用矩阵$H$作用与整个${\pi }_2$平面，可以得到平面${\pi }_3$，所得平面与原始平面${\pi }_1$之间射影失真被消除，只存在仿射变换的关系。

当无穷远直线的象$\mathbf{I}=(l_1,l_2,l_3{)}^T$，假定$l_3̸=0$,那么$\mathbf{I}$映射为${\mathbf{I}}_{\infty }=(0,0,1)T$的一个适合的变换为：
$$H=H_A\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ l_1& l_2& l_3\end{array}\right]$$
有：$H^{-T}(l_1,l_2,l_3{)}^T=(0,0,1{)}^T={\mathbf{I}}_{\infty }$

注：射影变换可将理想点转换成平面内的有限点，将无穷远直线转换为有限直线;

• 消影点和消影线 :
  在平面的透视图像中，世界平面的无穷远直线被影像为该平面的消影线。消影点为世界平面上两平行直线相交的理想点在透视图像中的像，因此消影点位于消影线上。确定两个不同的消影点，即可确认出消影线。

• 消影点计算（代数法）：
  给定直线上有两个已知长度比的线段，该直线上的无穷远点便可以确认。

例如：当给定直线上的三点在世界坐标系下坐标为${\bar{\mathbf{x}}}_1,{\bar{\mathbf{x}}}_2,{\bar{\mathbf{x}}}_3$，射影变换后坐标为：${\bar{\mathbf{x}}}_1^{\prime },{\bar{\mathbf{x}}}_2^{\prime },{\bar{\mathbf{x}}}_3^{\prime }$，由于射影变换中任何共线四点的交比不变，在已知三点的情况下，将选取理想点作为世界坐标下的第四点${\bar{\mathbf{x}}}_4=(1,0{)}^T$，取消影点作为射影变换图像下的第四点${\bar{\mathbf{x}}}_4^{\prime }$,根据交比不变可以计算消影点${\bar{\mathbf{x}}}_4^{\prime }$的坐标；
$$Cross({\bar{\mathbf{x}}}_1^{\prime },{\bar{\mathbf{x}}}_2^{\prime },{\bar{\mathbf{x}}}_3^{\prime },{\bar{\mathbf{x}}}_4^{\prime })=Cross({\bar{\mathbf{x}}}_1,{\bar{\mathbf{x}}}_2,{\bar{\mathbf{x}}}_3,{\bar{\mathbf{x}}}_4)$$

• 消影点计算（几何法）：

利用几何作图法可以确定消影点位置：

二、虚圆点及其对偶

2.1 虚圆点

在相似变换下，${\mathbf{I}}_{\infty }$上有两个不动点，他们是虚圆点（也称绝对点）$\mathbf{I},\mathbf{J}$,其标准坐标为：
$$\mathbf{I}=\left[\begin{array}{c}1\\ i\\ 0\end{array}\right];\mathbf{J}=\left[\begin{array}{c}1\\ -i\\ 0\end{array}\right]$$
结论2： 在射影变换$H$下，虚圆点$\mathbf{I}$和$\mathbf{J}$为不动点的充要条件是$H$为相似变换

任何圆都交${\mathbf{I}}_{\infty }$于虚圆点；当二次曲线为圆时，有a=c=1,且b=0,则：
$$x_1^2+x_2^2+d{x}_1{x}_2+e{x}_2{x}_3+f{x}_3^2=0$$
二次曲线与理想直线${\mathbf{I}}_{\infty }$相交时$x_3=0$;即有：
$$x_1^2+x_2^2=0$$
求解，可得$\mathbf{I}=(1,i,0{)}^T，\mathbf{J}=(1,-i,0{)}^T$,即任何圆都交${\mathbf{I}}_{\infty }$于虚圆点。由于二次曲线是需要5个点才能确认，而圆作为二次曲线的一种，只需要3个点就可以进行确认，而加上两个虚圆点后，同样是5个点。

2.2 与虚圆点对偶的二次曲线

二次曲线：$C_{\infty }^{\ast }={\mathbf{I}\mathbf{J}}^T+{\mathbf{J}\mathbf{I}}^T$
$$C_{\infty }^{\ast }=\left[\begin{array}{c}1\\ i\\ 0\end{array}\right](1,-i,0)+\left[\begin{array}{c}1\\ -i\\ 0\end{array}\right](1,i,0)=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$
由于虚圆点在相似变换下的不动性质，二次曲线$C_{\infty }^{\ast }$在相似变换下也不变：
$${C_{\infty }^{\ast }}^{\prime }=H_s{C}_{\infty }^{\ast }{H}_s^T=C_{\infty }^{\ast }$$
结论3：对偶二次曲线$C_{\infty }^{\ast }$,在射影变换H下不变的充要条件是H是相似变换。
性质1：$C_{\infty }^{\ast }$有四个自由度；
性质2： ${\mathbf{I}}_{\infty }是C_{\infty }^{\ast }$*的零矢量；

2.3 射影平面的夹角

欧式几何中两直线的夹角有他们的法线点乘计算，直线$\mathbf{I}=(l_1,l_2,l_3{)}^T$和$\mathbf{m}=(m_1,m_2,m_3{)}^T$之间的夹角为：
$$\cos \theta =\frac{l_1{m}_1+l_2{m}_2}{\sqrt{(l_1^2+l_2^2)(m_1^2+m_2^2)}}$$
射影变换后，夹角计算公式为：
$$\cos \theta =\frac{{\mathbf{I}}^T{C}_{\infty }^{\ast }\mathbf{m}}{\sqrt{({\mathbf{I}}^T{C}_{\infty }^{\ast }\mathbf{I})({\mathbf{m}}^T{C}_{\infty }^{\ast }\mathbf{m})}}$$
结论4：一旦二次曲线$C_{\infty }^{\ast }$在射影平面上能够被辨认，那么欧式叫可以用上式来测量；
结论5：如果${\mathbf{I}}^T{C}_{\infty }^{\ast }\mathbf{m}=0$则直线$\mathbf{I}$和$\mathbf{m}$正交;
**长度比：**一旦$C_{\infty }^{\ast }$被辨认，长度比同样可以测量；

三、由图像恢复度量性质

对偶二次曲线$C_{\infty }^{\ast }$几乎包含了实现度量矫正所需的全部信息。它能确定射影变换中的仿射和射影成分，而只留下相似变换的失真。

结论6：在射影平面上，一旦$C_{\infty }^{\ast }$辨认， 那么射影失真可以矫正到相差一个相似变换。