最小割一些建模方法

最大权闭合子图

问题

在一个有向无环图中，每个点有点权，现在需要选出一个子图，满足若一个点被选，它连向的所有点都被选，求子图的最大权值和是多少。

建模方法

源点向所有正权点连边，容量为权值， 所有负权点向汇点连边，容量为权值的相反数，原图的边保留，权值为正无穷。答案为正权点权值和-最小割。

二元关系建图

问题

有一些点，每个点有两种权值$a、b$，有一些二元关系，形如若在一个点选了某种权值的同时另一个点选了某种权值，会获得额外的权值，求权值最大或最小。

建模方法

像这样建图：

图中的每一种割都对应着一种决策方案，把每种决策割的边边权拿出来，列四个方程求出边权即可，不过要注意边权非负。

二元关系理解最大权闭合子图

若$x->y$，可以理解为选了$x$不选$y$获得负无穷的权值，按照这样用二元关系建图，讨论$x、y$的权值正负，发现得到的建图与最大权闭合子图如出一辙。