【数字信号处理】线性卷积的四种常见求解方法

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例：x(n)=R3(n)={1,1,1};h(n)=(4-n)R4(n)={4,3,2,1};求线性卷积y(n)=x(n)*h(n)

1、时域直接法：

a.翻转：h(n)=h(-m)；   b.移位：h(n-m)；   c.相乘：x(m)h(n-m)；   d.相加

即：

时域直接法（1）图示法：也称列表法（以m为变量，翻褶、移位、相乘、相加）

	m	-2	-1	0	1	2	3
	h(m)			4	3	2	1
	x(m)			1	1	1		y(n)
n=0	x(-m)	1	1	1				4
n=1	x(1-m)		1	1	1			7
n=2	x(2-m)			1	1	1		9
n=3	x(3-m)				1	1	1	6
n=4	x(4-m)					1	1	3
n=5	x(5-m)						1	1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(n)={4, 7, 9, 6, 3, 1}，非零数据长度6=4+3-1（h(n)长度为N，x(n)长度为M，y(n)长度为N+M-1）

时域直接法（2）对位相乘相加法：

关键：找准相乘后零位置所在处，图中用下划线表示序号为0的位置所在处

时域直接法（3）向量矩阵乘法

关键：图中3×6的矩阵。为什么是6？因为数据长度是3+4-1=6。为什么是3？因为左边是1×3矩阵。

2、Z变换法：

    ，

3、通过圆周卷积求线性卷积：

具体做法：N=6，N1=3，N2=4，此时N1与N2不等长，需要补零

x(n)，补N-N1个零达到N点，本题中，x(n)补3个零达到6点

h(n)，补N-N2个零达到N点，本题中，x(n)补2个零达到6点

	n/m	-1	-2	0	1	2	3	4	5	6
补零	h(n/m)			4	3	2	1	0	0		补到6点
	x(n/m)			1	1	1	0	0	0		补到6点
周期延拓	x((m))6	0	0	1	1	1	0	0	0	1	相乘求和
反转	h((-m))6	1	1	1	0	0	0	1	1	1	yc(n)
取主值	x((-m))6R6(n)			1	0	0	0	1	1		4
圆周移位	x((1-m))6R6(n)			1	1	0	0	0	1		7
	x((2-m))6R6(n)			1	1	1	0	0	0		9
	x((3-m))6R6(n)			0	1	1	1	0	0		6
	x((4-m))6R6(n)			0	0	1	1	1	0		3
	x((5-m))6R6(n)			0	0	0	1	1	1		1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

圆周卷积与线性卷积的关系：N点圆周卷积yc(n)是[线性卷积yl(n)以N为周期的周期延拓序列]的主值序列

注意：只有当N≥N1+N2-1时，yl(n)以N为周期进行周期延拓才无混叠现象。，即当圆周卷积长度N≥N1+N2-1时，N点的圆周卷积能代表线性卷积。用表达式表示如下：

4、DFT法：

具体做法：N=6，N1=3，N2=4

x(n)，补N-N1个零达到N点DFT，本题中，x(n)补3个零达到6点DFT

h(n)，补N-N2个零达到N点DFT，本题中，x(n)补2个零达到6点DFT

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