图-网络流-最小割最大流定理

有一个和最大流密切相关的问题：最小割。

把所有顶点分成两个集合S和T=V-S，其中源点s在集合S中，汇点t在集合T中。

如果把“起点在S中，终点在T中”的边全部删除，就无法从s到达t了，这样的集合划分（S，T）称为一个s-t割，它的容量定义为：c(S,T)=,即起点在S中，终点在T中的所有边的容量和。

还可以从另外一个角度看待割。从s运送到t的物品必然通过跨越S和T的边，所以从s到t的净流量等于|f| = f(S,T) =.

注意这里的割（S，T）是任取的，因此得到了一个重要结论：对于任意s-t流f和任意s-t割（S,T），有|f| <= c(S,T)

下面来看残量网络中没有增广路的情形。既然不存在增广路，在残量网络中s和t并不连通。当BFS没有找到任何s-t道路时，把已标号结点(a[u]>0的结点u)集合看成S，令T=V-S，则在残量网络中S和T分离，因此在原图中跨越S和T的所有弧均满载（这样的边才不会存在于残量网络中），且没有从T回到S的流量，因此|f| <= c(S,T)成立。

前面说过，对于任意的f和(S,T)，都有|f| <= c(S,T),而此处又找到了一组让等号成立的f和(S,T)。这样，便同时证明了增广路定理和最小割最大流定理：在增广路算法结束时，f是s-t最大流，(S-T)是s-t最小割。

增广路算法结束时，令已标点结点（a[u]>0的结点）集合为S，其他结点集合为T=V-S，则(S,T)是图的s-t最小割。