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常数和基本初等函数导数公式推导

常数和基本初等函数导数公式：

1. c′=0

2. (xn)′=nxn−1
(1). (x√)′=12x√
(2). (1x)′=−1x2

3. (sinx)′=cosx

4. (cosx)′=−sinx

5. (lnx)′=1x

6. (logax)′=logaex

7. (ax)′=axlna
(1). (ex)′=ex

8. (tanx)′=sec2x

9. (cotx)′=−csc2x

10. (secx)′=secxtanx

11. (cscx)′=−cscxcotx

12. (arcsinx)′=11−x2√

13. (arccosx)′=−11−x2√

14. (arctanx)′=11+x2

15. (arccotx)′=−11+x2

下面对导数公式进行推导：

(xn)′=nxn−1

由导数的定义：

lim Δ x \to 0 f ( x + Δ x ) - f ( x ) Δ x

得：

(x n)' = lim Δ x \to 0 ( x + Δ x ) 0 0 n - x n Δ x

= lim Δ x \to 0 \sum n m = 1 C m n x m Δ x n - m - x n Δ x

= lim Δ x \to 0 C 0 n x 0 Δ x n + C 1 n x 1 Δ x n - 1 + \dots \dots + C n - 1 n x n - 1 Δ x 1 + C n n x n Δ x 0 - x n Δ x

= lim Δ x \to 0 C 0 n x 0 Δ x n + C 1 n x 1 Δ x n - 1 + \dots \dots + C n - 1 n x n - 1 Δ x 1 Δ x

= n x n - 1

(sinx)′=cosx

由导数的定义：

lim Δ x \to 0 f ( x + Δ x ) - f ( x ) Δ x

得：

(sin x)' = lim Δ x \to 0 sin ( x + Δ x ) - sin x Δ x

= lim Δ x \to 0 2 cos x + Δ x + x 2 sin x + Δ x - x 2 Δ x

= lim Δ x \to 0 2 cos ( x + Δ x 2 ) sin Δ x 2 2 Δ x 2

= lim Δ x \to 0 cos (x + Δ x 2)

= cos x

(cosx)′=−sinx

由导数的定义：

lim Δ x \to 0 f ( x + Δ x ) - f ( x ) Δ x

得：

(cos x)' = lim Δ x \to 0 cos ( x + Δ x ) - cos x Δ x

= lim Δ x \to 0 - 2 sin x + Δ x + x 2 sin x + Δ x - x 2 Δ x

= lim Δ x \to 0 - 2 sin ( x + Δ x 2 ) sin Δ x 2 2 Δ x 2

= lim Δ x \to 0 - sin (x + Δ x 2)

= - sin x

(lnx)′=1x

由导数的定义：

lim Δ x \to 0 f ( x + Δ x ) - f ( x ) Δ x

得：

(ln x)' = lim Δ x \to 0 ln ( x + Δ x ) - ln x Δ x

= lim Δ x \to 0 ln ( x + Δ x x ) Δ x

= lim Δ x \to 0 ln ( 1 + Δ x x ) Δ x x x

= 1 x

(logax)′=logaex

由导数的定义：

lim Δ x \to 0 f ( x + Δ x ) - f ( x ) Δ x

得：

(log a x)' = lim Δ x \to 0 log a ( x + Δ x ) - log a x Δ x

= lim Δ x \to 0 log a ( 1 + Δ x x ) Δ x

= lim Δ x \to 0 log a ( 1 + 1 x Δ x ) x Δ x Δ x x Δ x

= lim Δ x \to 0 log a e Δ x x Δ x

= lim Δ x \to 0 Δ x x log a e Δ x

= log a e x

(ax)′=axlna

由导数的定义：

lim Δ x \to 0 f ( x + Δ x ) - f ( x ) Δ x

得：

(a x)' = lim Δ x \to 0 a x + Δ x - a x Δ x

= lim Δ x \to 0 a x ( a Δ x - 1 ) Δ x

= a x lim Δ x \to 0 Δ x ln a Δ x

= a x ln a

(tanx)′=sec2x

(tan x)' = (sin x cos x)'

= ( sin x ) ' cos x - sin x ( cos x ) ' cos 2 x

= cos 2 x + sin 2 x cos 2 x

= sec 2 x

(cotx)′=−csc2x

(cot x)' = (1 tan x)'

= (cos x sin x)'

= ( cos x ) ' sin x - cos x ( sin x ) ' sin 2 x

= - csc 2 x

(secx)′=secxtanx

(sec x)' = (1 cos x)'

= 1 ' cos x - 1 ( cos x ) ' cos 2 x

= sin x cos 2 x

= sec x tan x

(cscx)′=−cscxcotx

(csc x)' = (1 sin x)'

= 1 ' sin x - 1 ( sin x ) ' sin 2 x

= - cos x sin 2 x

= - csc x cot x

(arcsinx)′=11−x2√

设 y = arcsin x ， 则 x = sin y

(arcsin x)' = (1 sin y)'

= 1 cos y

= 1 1 - sin 2 y - - - - - - - - \sqrt

= 1 1 - x 2 - - - - - \sqrt

(arccosx)′=−11−x2√

设 y = arccos x ， 则 x = cos y

(arccos x)' = (1 cos y)'

= - 1 sin y

= - 1 1 - cos 2 y - - - - - - - - \sqrt

= - 1 1 - x 2 - - - - - \sqrt

(arctanx)′=11+x2

设 y = arctan x ， 则 x = tan y

(arctan x)' = (1 tan y)'

= 1 sec 2 y

= 1 1 + tan 2 y

= 1 1 + x 2

(arccotx)′=−11+x2

设 y = a r c c o t x ， 则 x = cot y

(a r c c o t x)' = (1 cot y)'

= - 1 csc 2 y

= - 1 1 + cot 2 y

= - 1 1 + x 2

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Centos6.5使用yum安装mysql——快速上手必备 dcj3sjt126com mysql
第1步、yum安装mysql [root@stonex ~]# yum -y install mysql-server 安装结果： Installed: mysql-server.x86_64 0:5.1.73-3.el6_5 &nb
如何调试JDK源码 frank1234 jdk
相信各位小伙伴们跟我一样，想通过JDK源码来学习Java，比如collections包，java.util.concurrent包。可惜的是sun提供的jdk并不能查看运行中的局部变量，需要重新编译一下rt.jar。下面是编译jdk的具体步骤： 1.把C:\java\jdk1.6.0_26\sr
Maximal Rectangle hcx2013 max
Given a 2D binary matrix filled with 0's and 1's, find the largest rectangle containing all ones and return its area. public class Solution { public int maximalRectangle(char[][] matrix)
Spring MVC测试框架详解——服务端测试 jinnianshilongnian spring mvc test
随着RESTful Web Service的流行，测试对外的Service是否满足期望也变的必要的。从Spring 3.2开始Spring了Spring Web测试框架，如果版本低于3.2，请使用spring-test-mvc项目（合并到spring3.2中了）。 Spring MVC测试框架提供了对服务器端和客户端（基于RestTemplate的客户端）提供了支持。 &nbs
Linux64位操作系统（CentOS6.6）上如何编译hadoop2.4.0 liyong0802 hadoop
一、准备编译软件 1.在官网下载jdk1.7、maven3.2.1、ant1.9.4，解压设置好环境变量就可以用。环境变量设置如下：（1）执行vim /etc/profile （2）在文件尾部加入: export JAVA_HOME=/home/spark/jdk1.7 export MAVEN_HOME=/ho
StatusBar 字体白色 pangyulei status
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如何分析Java虚拟机死锁 sesame java thread oracle 虚拟机 jdbc
英文资料： Thread Dump and Concurrency Locks Thread dumps are very useful for diagnosing synchronization related problems such as deadlocks on object monitors. Ctrl-\ on Solaris/Linux or Ctrl-B
位运算简介及实用技巧（一）：基础篇 tw_wangzhengquan 位运算
http://www.matrix67.com/blog/archives/263 去年年底写的关于位运算的日志是这个Blog里少数大受欢迎的文章之一，很多人都希望我能不断完善那篇文章。后来我看到了不少其它的资料，学习到了更多关于位运算的知识，有了重新整理位运算技巧的想法。从今天起我就开始写这一系列位运算讲解文章，与其说是原来那篇文章的follow-up，不如说是一个r
jsearch的索引文件结构 yangshangchuan 搜索引擎 jsearch 全文检索信息检索 word分词
jsearch是一个高性能的全文检索工具包，基于倒排索引，基于java8，类似于lucene，但更轻量级。 jsearch的索引文件结构定义如下： 1、一个词的索引由=分割的三部分组成：第一部分是词第二部分是这个词在多少

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