tarjan算法总结

tarjan学了老是忘，还容易把边双点双强连通分量搞混，这里写个总结。

定义dfn(x)为x点dfs序，low（x）为该点能通过非树边返回的深度最小祖先的dfn。

一、无向图tarjan：

1.求low（x）

首先将low（x）初始化为dfn（x），对于连着x的边（x，y），若x为y父亲，则先dfs（y），low（x）=min（low（x），low（y）），不然说明为非树边，low（x）=min（low（x），dfn（y））

2.割点和桥

定义桥为删除掉图会分裂成两个及以上子图的边，割点为删除掉图会分裂为两个以上子图的点。

若一条x到子节点y的边是桥，则要满足dfn（x）

割点情况类似，若x是割点，则要存在一个y，使得dfn（x）<=low（y），这里可以不用判断重边情况（最好还是判反正没多大区别），需要注意根是割点的条件较特殊是有两个及以上子节点。

3.点双边双

点双图是一个无向图，其中不存在割点。点双连通分量指原图一个极大点双连通子图（即不存在包含它更大点双子图）。

边双图是一个无向图，其中不存在桥。边双连通分量指原图一个极大边双连通子图（即不存在包含它更大边双子图）。

有一些没啥用的定理：

1.点双图至少满足以下两条件之一：顶点数不超过2；任意两点至少包含在一个简单环（不自交环）中。

2.一张图是边双图当且仅当任意边都包含在至少一个简单环中。

求边双：将桥边删除，每个连通块都是一个边双。而将每个边双看成一个点建新图即可完成边双缩点。

求点双：首先对于孤立点（没有连边的）直接自己作为点双，其余的就在tarjan时维护一个栈，一个点第一次访问时加入栈，当出现dfn（x）<=low（y），从栈顶不断弹，弹出y为止，所有弹出的和x构成割点。之后缩点则将每个割点和包含它的点双连边构成森林。

二、有向图tarjan

一张有向图，若其中任意两个点x，y都既存在x到y路径也存在y到x路径，则其为强连通图，类比点双边双分量可以定义强连通分量。

求强连通分量：维护一个栈记录当前点祖先点集合，然后计算low（x）时与求割点桥差不多，就是一个点要判断是当前点祖先要看它是否在栈中。最后在x点回溯前判断是否有low（x）==dfn（x），如果有则将栈弹到x出栈为止，所有出栈的构成一个强连通分量，缩点则与边双类似。