support vector machines

支持向量机

支持向量机最简单的理解：

支持向量机可以用于对数据进行分类也可以用于回归。其本质是要在两类数据特征向量之间寻找一个分隔超平面，用于将两类样本分离。其主要特征在于，要寻找的超平面是可以将两类数据特征向量到超平面的距离最远；也就是不仅仅要找到一条超平面用于分隔两类数据，而且还要使得边界距离最大化。

在支持向量机中还有两个概念：

• 函数距离：也就是样本点到超平面的距离w*x+b
• 几何距离：也就是使得||w||=1，（w*x+b）/ ||w||

因为函数距离可以因为w和b的任意伸缩，而变的很大，因此加上约束之后，可以将函数距离之和最大化目标转为求几何距离最大化。在后面求解与推导支持向量机的过程中，将引入拉格朗日算子，将约束条件转化为目标函数的二次优化问题。在经过一系列数学推导之后，我们的目标在于求解使得超平面的margin(与支持向量之间：支持向量指的是到分隔面几何距离为1的那些向量点)最大化的目标参数w* 与b* ，其中w*，b*只与输入样本值以及拉格朗日参数alpha相关;

• w* = ∑Niαiyixi ∑ i N α i y i x i
• b* = ∑Niαiyi ∑ i N α i y i

因而最终只需求解出最优的alpha即可求得超平面。

支持向量机在数据线性不可分时可以引入kernel methods

之所以引入核方法：

• 一来是为了解决数据线性不可分问题，需要将数据映射到高维空间
• 二来是为了各方面计算，因为将输入数据映射到高维空间的计算量是很大的，而实际上将数据映射到高维空间的后也只需要计算其内积，因此如果可以直接根据输入数据计算其在高维空间的内积必然最好。kernel methods 就是这么做的！

常见的核方法有：

• linear kernel
• rbf kernel
• polynomial kernel K(x,z)=(x∗z+1)p K ( x , z ) = ( x ∗ z + 1 ) p

再说明一下支持向量机采用的损失函数hinge loss

loss=∑Nimax(0,1−yi(wxi+b))+λ||w|| l o s s = ∑ i N m a x ( 0 , 1 − y i ( w x i + b ) ) + λ | | w | |

从hinge loss 的表达式也可以很容易看出：

• 对于误分类问题，表达式 1−yi(w∗xi+b∗) 1 − y i ( w ∗ x i + b ∗ ) 的值相当于在原始的函数距离上加1，也就是加大了误分类样本的惩罚
• 对于到分隔面的距离等于1的，并且正确分类的，loss为0
• 对于到分隔面距离小于1的也给予惩罚
• 对于到分隔面距离大于1，并且正确分类的， 1−yi(w∗xi+b∗) 1 − y i ( w ∗ x i + b ∗ ) 小于0，SVM将这样的样本loss设为0，也就是不惩罚。
• 因此，可以看出只有决策面内以及误分类的样本起到作用。
• 最后：右边表达式最后一项是正则化项。

SVM的优缺点

• 优点

  • 对于清晰可分的数据而言SVM works pretty well
  • 对于高维空间数据而言，SVM十分有效
  • 当样本数量大小低于样本空间维度时，SVM很有效
  • SVM只使用了训练点的一部分子集也就是支持向量，因此节省内存

• 缺点

  • 当我们的数据集很大的时候SVM表现的不是很好，因为需要很长的运行时间
  • 当数据集有很多噪声的时候，比如目标分类有很多重叠，SVM表现的不是很好
  • SVM并不直接提供概率估计，如果需要的话需要使用代价昂贵的five-fold 交叉验证。