Bandit算法

算法思想

累计遗憾
$$\sum _{i=1}^T(G_{opt}^{\ast }-G_i)$$
$G_{opt}^{\ast }$是最优选择方案的收益 ，$G_i$是实际采取的选择的收益。
目标是累计遗憾最小 。

1. 更多选择确定好的方案
2. 更少寻找确定不好的方案
3. 更多选择不确定好坏的方案

常见的Bandit算法

汤普森采样

Beta分布的PDF概率密度函数为：
$$\frac{1}{B(\alpha ,\beta )}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}$$
其中：
$$B(\alpha ,\beta )=\frac{\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}$$

1. 当$\alpha +\beta$越大，曲线越窄，分布越集中。
2. 当$\frac{\alpha }{\alpha +\beta }$越大，中心越接近于1；反之则越接近于0。

则可分为三种情况：

1. $\alpha +\beta$很大，并且$\frac{\alpha }{\alpha +\beta }$很大，分布很窄，中心接近于1
2. $\alpha +\beta$很大，并且$\frac{\alpha }{\alpha +\beta }$很小，分布很窄，中心接近于0
3. $\alpha +\beta$很小，分布很宽

当Beta分布用到推荐系统时，$\alpha$ 可表示推荐后用户点击次数， $\beta$可表示推荐后用户未点击次数。每个用户每个商品都要维护各自的$\alpha 和\beta$。

1. $\alpha +\beta$很大，并且$\frac{\alpha }{\alpha +\beta }$很大，表示该物品用户比较大可能点击，是个好的候选项，起到利用Exploit的作用。
2. $\alpha +\beta$很大，并且$\frac{\alpha }{\alpha +\beta }$很小，表示该物品用户比较小可能点击，是个坏的候选项
3. $\alpha +\beta$很小 ，表示该物品被推荐的次数比较少，用户是否点击不太确定，需要多推荐。起到探索Explore的作用。

scipy.stats.distributions.beta.ppf(np.random.random(size), pos, neg)

UCB算法

置信区间上界。为每个臂评分，每次选出评分最高的臂输出，然后观察用户反馈，再更新相应的臂的参数。
每个臂的评分为：
$${\overline{X}}_j(t)+\sqrt{\frac{2lnt}{T_j{,}_t}}$$

${\overline{X}}_j(t)$是该候选臂到目前为止的平均收益，$T_j{,}_t$是该候选臂被选择的次数，t为总的选择次数。
算法思想和汤普森采样一样 ：

1. 以每个候选臂的平均收益为基准进行选择。
2. 对于选择次数不足的给予照顾。
3. 倾向于选择那些确定收益较好的选择。

 for arm in range(n_arms):
   bonus = math.sqrt((2 * math.log(total_counts)) / float(counts[arm]))
   new_rewards[arm] = old_rewards[arm] + bonus

Epsilon算法

$$\{\begin{array}{ll}随机选择一个臂,& 以ϵ概率\\ 选择最大平均收益的臂，& 以1-ϵ概率\end{array}$$

   if random.random() > epsilon:
      return ind_max(rewards)
    else:
      return random.randrange(len(rewards))

反馈更新：$new\_reward=\frac{n-1}{n}\ast old\_reward+\frac{1}{n}\ast reward$