最小生成树——Prim算法和Kruscal算法
1、最小生成树的定义
一个连通图的生成树是该连通图的一个极小连通子图，它含有图中全部顶点，但只构成一棵树的（n-1）条边。对于一个带权连通无向图G的不同生成树，各棵树的边上的权值之和可能不同，边上的权值之和最小的树称为该图的最小生成树。
2、最小生成树的应用
比如要在n个城市之间铺设光缆，主要目标是要使这 n 个城市的任意两个之间都可以通信，但铺设光缆的费用很高，且各个城市之间铺设光缆的费用不同，因此另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低。这就需要找到带权的最小生成树。
3、最小生成树的构造算法
图的邻接矩阵类型定义如下：
#define N 100
typedef char ElemType;
//adjacency matrix graph
typedef struct MGraph
{
ElemType vertexes[N];
int edges[N][N];
int n;
}MGraph;（1）普里姆（Prim）算法
Prim算法的核心思想是，从一个顶点开始，加入顶点集合，将顶点集合中所有顶点到其他顶点的边作为候选边，每次从候选边中挑选最小权值的边作为生成树的边，然后更新候选边，直到图的所有顶点都被加入为止。其步骤如下：
①初始化顶点集合为传入的那个顶点，初始化候选边为该顶点到其他顶点的所有边
②重复步骤③，直到图中所有顶点都被加入为止
③从候选边中挑选最小权值的边作为生成树的边，此时因为加入了新的顶点，所以需要更新候选边
代码实现：
void Prim(MGraph& g, int k)
{
int* w = new int[g.n]; //the least edge weight
int* v = new int[g.n]; //vertexes of the least weight
for (int i = 0; i < g.n; i++)
{
w[i] = g.edges[k][i];
v[i] = k;
}
w[k] = 0;
for (int cnt = 1; cnt < g.n; cnt++)
{
//find the min val of w
int imin = -1;
for (int i = 0; i < g.n; i++)
{
if (w[i] != 0 && (imin == -1 || w[i] < w[imin]))
imin = i;
}
//print
cout << "(" << g.vertexes[v[imin]] << "," << g.vertexes[imin] << ")";
//update the least weight
w[imin] = 0;
for (int i = 0; i < g.n; i++)
{
if (g.edges[imin][i] != 0 && g.edges[imin][i] < w[i])
{
w[i] = g.edges[imin][i];
v[i] = imin;
}
}
}
delete[] w, v;
}Prim算法包含两重for循环，其时间复杂度为O(n²)。
（2）克鲁斯卡尔（Kruscal）算法
Kruscal算法的基本思想是，将图的所有边按权值递增的顺序进行排序，然后每次依次从小到大选择一条边加入到生成树中，但加入的前提是加入这条边后不会构成回路。其步骤如下：
①将图的所有边按权值递增的顺序进行排序
②重复步骤③，直到图中所有顶点都被加入为止
③按照从小到大的顺序选择一条边，如果这条边未使生成树形成回路，就把这条边加入到生成树中
代码实现如下：
void Kruscal(MGraph& g)
{
//define the Edge
typedef struct Edge
{
int u, v;
int w;
Edge(int _u, int _v, int _w) :u(_u), v(_v), w(_w) {}
}Edge;
//init the edges
vector v;
for (int i = 0; i < g.n; i++)
{
for (int j = 0; j < g.n; j++)
{
auto w = g.edges[i][j];
if (w != INT16_MAX && w != 0)
v.push_back(Edge(i, j, w));
}
}
//sort by weight increment
sort(v.begin(), v.end(), [](Edge u, Edge v)->int {
return u.w < v.w;
});
//add all edges if it does not constitute a loop
int* set = new int[g.n];
for (int i = 0; i < g.n; i++)
set[i] = i;
vector::iterator iter = v.begin();
for (int cnt = 0; cnt < g.n - 1; )
{
if (set[iter->u] != set[iter->v])
{
cout << "(" << g.vertexes[iter->u] << "," << g.vertexes[iter->v] << ")";
cnt++;
for (int i = 0; i < g.n; i++)
{
if (set[i] == set[iter->v])
set[i] = set[iter->u];
}
}
iter++;
}
delete[] set;
} Kruscal算法同样包含两重for循环，其时间复杂度为O(n²)，但可以对Kruscal算法做两方面的优化，一是将边集排序改为堆排序，二是用并查集来判断新加入边是否构成回路，优化后Kruscal算法的时间复杂度为O(elog₂e)，e为图的所有边。
4、测试
求出给定无向带权图的最小生成树。图的定点为字符型，权值为不超过100的整形。
输入
第一行为图的顶点个数n 第二行为图的边的条数e 接着e行为依附于一条边的两个顶点和边上的权值
输出
最小生成树中的边。
样例输入
6 10 ABCDEF A B 6 A C 1 A D 5 B C 5 C D 5 B E 3 E C 6 C F 4 F D 2 E F 6
样例输出
(A,C)(C,F)(F,D)(C,B)(B,E) (A,C)(D,F)(B,E)(C,F)(B,C)
代码如下：
#include
#include 参考文献
[1] 李春葆.数据结构教程.清华大学出版社，2013.
[2] 最小生成树.百度百科[引用日期2018-04-29].