数据结构三——跳表

文章出处：极客时间《数据结构和算法之美》-作者：王争。该系列文章是本人的学习笔记。

跳表的由来

说明：图片来自极客时间
由来
　　二分查找的数据结构是数组，利用数组随机访问的特定查找的时间复杂度是O(logn)。如果数据结构是链表，可以达到这样的速度吗？答案是可以的。只是要改造。改造之后的结构就是跳表，是一种动态数据结构，可以支持快速的插入、删除、查找、按范围查找。功能类似于红黑树。Redis中的有序集合使用的就是跳表。

跳表的结构

　　对于单链表来说，存储的数据是有序的，想要查找某个数，时间复杂度是O(n)。如果对单链表建一个一级“索引”，就是说每两个节点提取一个节点。提取出的节点有一个down指针指向原始链表中的同一个节点。
　　
　　现在要查找数据16，那么查找路径是：1，4，7，9，13，13（原始链表），16。查找7个节点。单链表查找16需要查找10个节点。
　　如果对一级索引再建“索引”，形成二级索引。
　　
　　现在要查找数据16，那么查找路径是：1，7，13，13，13，16。查找6个节点。
　　当n小的时候，减少的节点数量不明显。如果是n=64。建5级索引。
　　
　　现在查找62需要11个节点，路径是1，33，33，49，49，57，57，61，61，61，62。原来需要62个节点。提升效果很明显。当n越大，提升效果越明显。
　　跳表=链表+多级索引

跳表的时空复杂度

时间复杂度
　当节点个数为ｎ的时候，跳表会建几层索引呢？第１级索引节点个数$\frac{n}{2}$，第2级索引节点个数$\frac{n}{4}$，第k级索引节点个数$\frac{n}{2^k}$。最上面一层索引节点个数是2。也就是说$2=\frac{n}{2^l}$,$l+1=lo{g}_{2}n$,$l=lo{g}_{2}n-1$。再加上原始链表层，跳表有$lo{g}_{2}n$层，记为logn。
　每一层最多查询的节点个数是3。因为在建每一层索引的时候，是每2个数据建一个节点。例如查找数据x，在第k层发现$y<x,x>z$，所以通过y的down指针向，从第k层走到第k-1层。而y和z节点之间最多有3个节点（包含y和z）。
　
　那么跳表的时间复杂度就是O(logn)。和二分查找是同样的查找效率。
空间复杂度
　链表的查找速度和二分一样，这是需要付出空间代价的。也就是以空间换时间。那么额外需要多少空间呢？$\frac{n}{2}+\frac{n}{4}+\frac{n}{8}+...+2=n$，等比数列求和。所以空间复杂度是O(n)。

跳表插入和删除

插入
　对于插入来讲，为了维持链表的有序性，在插入一个数据的时候需要先查找到插入的位置。
　
　例如在链表中插入6，需要查找插入位置，查找节点1，1，4，4，5，时间复杂度和查找一个数字类似，O(logn)。链表的插入操作是O(1)，所以整体插入操作时间复杂度O(logn)。
删除
　删除操作不仅要删除链表层，同时需要删除索引层的节点。时间复杂度O(logn)。

动态索引表更新

索引更新
　当不断插入数据的时候，如果不更新索引层，极端情况下跳表退化为单链表。当插入数据的时候，同时更新某些索引层。至于在哪些层建索引，可以通过随机函数来选择。

思考题

1 redist为什么使用跳表而不是红黑树？
　redist的核心操作是：
　插入一个数据；
　删除一个数据；
　查找一个数据；
　按范围查找一个区间内的数据；
　迭代输出有序序列
　红黑树效率不高的操作是：按范围查找一个区间内的数据。
　其他原因：跳表更容易实现，代码比较简单。

2 如果每3个或者5个节点抽取一个做索引，那么跳表的时间复杂度和空间复杂度是多少呢？
如果每三个或者五个节点提取一个节点作为上级索引，那么对应的查询数据时间复杂度，也还是 O(logn)。其实这里的底数已经不是2，而是3或者5。
空间复杂度，也依然是一个等比数列的和：$\frac{n}{3}+\frac{n}{9}+\frac{n}{8}+...+3=\frac{3}{2}(n-1)$，记为O(n)。