【分治法】最接近点对问题

问题场景：在应用中，常用诸如点、圆等简单的几何对象代表现实世界中的实体。在涉及这些几何对象的问题中，常需要了解其邻域中其他几何对象的信息。例如，在空中交通控制问题中，若将飞机作为空间中移动的一个点来看待，则具有最大碰撞危险的2架飞机，就是这个空间中最接近的一对点。这类问题是计算几何学中研究的基本问题之一。

      问题描述：给定平面上n个点，找其中的一对点，使得在n个点的所有点对中，该点对的距离最小。严格地说，最接近点对可能多于1对。为了简单起见，这里只限于找其中的一对。

      1、一维最接近点对问题

       算法思路：

       这个问题很容易理解，似乎也不难解决。我们只要将每一点与其他n-1个点的距离算出，找出达到最小距离的两个点即可。然而，这样做效率太低，需要O(n^2)的计算时间。在问题的计算复杂性中我们可以看到，该问题的计算时间下界为Ω(nlogn)。这个下界引导我们去找问题的一个θ(nlogn)算法。采用分治法思想，考虑将所给的n个点的集合S分成2个子集S1和S2，每个子集中约有n/2个点，然后在每个子集中递归地求其最接近的点对。在这里，一个关键的问题是如何实现分治法中的合并步骤，即由S1和S2的最接近点对，如何求得原集合S中的最接近点对，因为S1和S2的最接近点对未必就是S的最接近点对。如果组成S的最接近点对的2个点都在S1中或都在S2中，则问题很容易解决。但是，如果这2个点分别在S1和S2中，则对于S1中任一点p，S2中最多只有n/2个点与它构成最接近点对的候选者，仍需做n^2/4次计算和比较才能确定S的最接近点对。因此，依此思路，合并步骤耗时为O(n^2)。整个算法所需计算时间T(n)应满足:　T(n)=2T(n/2)+O(n^2)。它的解为T(n)=O(n^2)，即与合并步骤的耗时同阶，这不比用穷举的方法好。从解递归方程的套用公式法，我们看到问题出在合并步骤耗时太多。这启发我们把注意力放在合并步骤上。      

      设S中的n个点为x轴上的n个实数x1,x2,..,xn。最接近点对即为这n个实数中相差最小的2个实数。我们显然可以先将x1,x2,..,xn排好序，然后，用一次线性扫描就可以找出最接近点对。这种方法主要计算时间花在排序上，在排序算法已经证明，时间复杂度为O(nlogn)。然而这种方法无法直接推广到二维的情形。因此，对这种一维的简单情形，我们还是尝试用分治法来求解，并希望能推广到二维的情形。假设我们用x轴上某个点m将S划分为2个子集S1和S2，使得S1={x∈S|x≤m}；S2={x∈S|x>m}。这样一来，对于所有p∈S1和q∈S2有p1和S2上找出其最接近点对{p1,p2}和{q1,q2}，并设d=min{|p1-p2|,|q1-q2|}，S中的最接近点对或者是{p1,p2}，或者是{q1,q2}，或者是某个{p3,q3}，其中p3∈S1且q3∈S2。如图所示。

     如果S的最接近点对是{p3,q3}，即|p3-q3|3和q3两者与m的距离不超过d，即|p3-m|3-m|3∈(m-d,m]，q3∈(m,m+d]。由于在S1中，每个长度为d的半闭区间至多包含一个点（否则必有两点距离小于d），并且m是S1和S2的分割点，因此(m-d,m]中至多包含S中的一个点。同理，(m,m+d]中也至多包含S中的一个点。由图可以看出，如果(m-d,m]中有S中的点，则此点就是S1中最大点。同理，如果(m,m+d]中有S中的点，则此点就是S2中最小点。因此，我们用线性时间就能找到区间(m-d,m]和(m,m+d]中所有点，即p3和q3。从而我们用线性时间就可以将S1的解和S2的解合并成为S的解。也就是说，按这种分治策略，合并步可在O(n)时间内完成。这样是否就可以得到一个有效的算法了呢？还有一个问题需要认真考虑，即分割点m的选取，及S1和S2的划分。选取分割点m的一个基本要求是由此导出集合S的一个线性分割，即S=S1∪S2 ，S1∩S2=Φ，且S1={x|x≤m}；S2={x|x>m}。容易看出，如果选取m=[max(S)+min(S)]/2，可以满足线性分割的要求。选取分割点后，再用O(n)时间即可将S划分成S1={x∈S|x≤m}和S2={x∈S|x>m}。然而，这样选取分割点m，有可能造成划分出的子集S1和S2的不平衡。例如在最坏情况下，|S1|=1，|S2|=n-1，由此产生的分治法在最坏情况下所需的计算时间T(n)应满足递归方程:
   T(n)=T(n-1)+O(n)
    它的解是T(n)=O(n^2)。这种效率降低的现象可以通过分治法中“平衡子问题”的方法加以解决。即通过适当选择分割点m，使S1和S2中有大致相等个数的点。自然地，我们会想到用S的n个点的坐标的中位数来作分割点。在选择算法中介绍的选取中位数的线性时间算法使我们可以在O(n)时间内确定一个平衡的分割点m。

       本程序确定平衡点采用m=[max(S)+min(S)]/2方法。如果需要利用中位数作分割点，看结合笔者博文《0005算法笔记——线性时间选择》改写。

     一维最接近临近点对问题程序清单如下：

 //2d10-1 一维最邻近点对问题
 #include "stdafx.h"
 #include
 #include
 using namespace std;

 const int L=100;
 //点对结构体
 struct Pair
 {
     float d;//点对距离
     float d1,d2;//点对坐标
 };
 float Random();
 int input(float s[]);//构造S
 float Max(float s[],int p,int q);
 float Min(float s[],int p,int q);
 template <class Type>
 void Swap(Type &x,Type &y);
 template <class Type>
 int Partition(Type s[],Type x,int l,int r);
 Pair Cpair(float s[],int l,int r);

 int main()
 {
     srand((unsigned)time(NULL));
     int m;
     float s[L];
     Pair d;
     m=input(s);
     d=Cpair(s,0,m-1);
     cout<"最近点对坐标为： (d1:"<",d2:"<")";
     cout<"这两点距离为： "<
     return 0;
 }


 float Random()
 {
     float result=rand()%10000;
      return result*0.01;
 }

 int input(float s[])
 {
     int length;
     cout<<"输入点的数目： ";
     cin>>length;
     cout<<"点集在X轴上坐标为：";
     for(int i=0;i
     {
         s[i]=Random();
         cout<" ";
     }

     return length;
 }


 float Max(float s[],int l,int r)//返回s[]中的最大值
 {
     float s_max=s[l];
     for(int i=l+1;i<=r;i++)
         if(s_max
             s_max=s[i];
     return s_max;
 }

 float Min(float s[],int l,int r)//返回s[]中的最小值
 {
     float s_min=s[l];
     for(int i=l+1;i<=r;i++)
         if(s_min>s[i])
             s_min=s[i];
     return s_min;
 }

 template <class Type>
 void Swap(Type &x,Type &y)
 {
     Type temp = x;
     x = y;
     y = temp;
 }

 template <class Type>
 int Partition(Type s[],Type x,int l,int r)
 {
     int i = l - 1,j = r + 1;

     while(true)
     {
         while(s[++i]
         while(s[--j]>x);
         if(i>=j)
         {
             break;
         }
         Swap(s[i],s[j]);
     }
     return j;
 }

 //返回s[]中的具有最近距离的点对及其距离
 Pair Cpair(float s[],int l,int r)
 {
     Pair min_d={99999,0,0};//最短距离

     if(r-l<1) return min_d;
     float m1=Max(s,l,r),m2=Min(s,l,r);

     float m=(m1+m2)/2;//找出点集中的中位数

     //将点集中的各元素按与m的大小关系分组
     int j = Partition(s,m,l,r);

     Pair d1=Cpair(s,l,j),d2=Cpair(s,j+1,r);//递归
     float p=Max(s,l,j),q=Min(s,j+1,r);

     //返回s[]中的具有最近距离的点对及其距离
     if(d1.d
     {
         if((q-p)
         {
             min_d.d=(q-p);
             min_d.d1=q;
             min_d.d2=p;
             return min_d;
         }
         else return d1;
     }
     else
     {
         if((q-p)
         {
             min_d.d=(q-p);
             min_d.d1=q;
             min_d.d2=p;
             return min_d;
         }
         else return d2;
     }
 }

程序运行结果如下：

      该算法的分割步骤和合并步骤总共耗时O(n)。因此，算法耗费的计算时间T(n)满足递归方程：

      

       解此递归方程可得T(n)=O(nlogn)。

         2、二维最接近点对问题

     将以上过程推广到二维最接近点对问题，设S中的点为平面上的点，它们都有2个坐标值x和y。为了将平面上点集S线性分割为大小大致相等的2个子集S1和S2，我们选取一垂直线l:x=m来作为分割直线。其中m为S中各点x坐标的中位数。由此将S分割为S1={p∈S|px≤m}和S2={p∈S|px>m}。从而使S1和S2分别位于直线l的左侧和右侧，且S=S1∪S2。由于m是S中各点x坐标值的中位数，因此S1和S2中的点数大致相等。递归地在S1和S2上解最接近点对问题，我们分别得到S1和S2中的最小距离d1和d2。现设d=min(d1,d2)。若S的最接近点对(p,q)之间的距离d(p,q)1和S2。不妨设p∈S1，q∈S2。那么p和q距直线l的距离均小于d。因此，我们若用P1和P2分别表示直线l的左边和右边的宽为d的2个垂直长条，则p∈S1，q∈S2，如图所示:

     距直线l的距离小于d的所有点

       在一维的情形，距分割点距离为d的2个区间(m-d,m](m,m+d]中最多各有S中一个点。因而这2点成为唯一的末检查过的最接近点对候选者。二维的情形则要复杂些，此时，P1中所有点与P2中所有点构成的点对均为最接近点对的候选者。在最坏情况下有n2/4对这样的候选者。但是P1和P2中的点具有以下的稀疏性质，它使我们不必检查所有这n^2/4对候选者。考虑P1中任意一点p,它若与P2中的点q构成最接近点对的候选者，则必有d(p,q)2中的点有多少个呢？容易看出这样的点一定落在一个d×2d的矩形R中，如下图所示:

包含点q的dX2d矩形R

     由d的意义可知P2中任何2个S中的点的距离都不小于d。由此可以推出矩形R中最多只有6个S中的点。事实上，我们可以将矩形R的长为2d的边3等分，将它的长为d的边2等分，由此导出6个（d/2）×（2d/3）的矩形。如左图所示:

矩阵R中点的稀疏性

     若矩形R中有多于6个S中的点，则由鸽舍原理易知至少有一个δ×2δ的小矩形中有2个以上S中的点。设u,v是这样2个点，它们位于同一小矩形中，则：

因此d(u,v)≤5d/61中任一点p，P2中最多只有6个点与它构成最接近点对的候选者。因此，在分治法的合并步骤中，我们最多只需要检查6×n/2=3n对候选者，而不是n^2/4对候选者。这是否就意味着我们可以在O(n)时间内完成分治法的合并步骤呢？现在还不能作出这个结论，因为我们只知道对于P1中每个S1中的点p最多只需要检查P2中的6个点，但是我们并不确切地知道要检查哪6个点。为了解决这个问题，我们可以将p和P2中所有S2的点投影到垂直线l上。由于能与p点一起构成最接近点对候选者的S2中点一定在矩形R中，所以它们在直线l上的投影点距p在l上投影点的距离小于d。由上面的分析可知，这种投影点最多只有6个。因此，若将P1和P2中所有S的点按其y坐标排好序，则对P1中所有点p，对排好序的点列作一次扫描，就可以找出所有最接近点对的候选者，对P1中每一点最多只要检查P2中排好序的相继6个点。

程序清单如下：

 //2d10-2 二维最邻近点对问题
 #include "stdafx.h"
 #include
 #include
 #include

 using namespace std;
 const int M=50;

 //用类PointX和PointY表示依x坐标和y坐标排好序的点
 class PointX {
     public:
         int operator<=(PointX a)const
         { return (x<=a.x); }
         int ID; //点编号
         float x,y; //点坐标
 };

 class PointY {
     public:
         int operator<=(PointY a)const
         { return(y<=a.y); }
         int p; //同一点在数组x中的坐标
         float x,y; //点坐标
 };

 float Random();
 template <class Type>
 float dis(const Type&u,const Type&v);

 bool Cpair2(PointX X[], int n,PointX& a,PointX& b, float& d);
 void closest(PointX X[],PointY Y[],PointY Z[], int l, int r,PointX& a,PointX& b,float& d);

 template <typename Type>
 void Copy(Type a[],Type b[], int left,int right);

 template <class Type>
 void Merge(Type c[],Type d[],int l,int m,int r);

 template <class Type>
 void MergeSort(Type a[],Type b[],int left,int right);

 int main()
 {
     srand((unsigned)time(NULL));
     int length;

     cout<<"请输入点对数：";
     cin>>length;

     PointX X[M];
     cout<<"随机生成的二维点对为："<

     for(int i=0;i
     {
         X[i].ID=i;
         X[i].x=Random();
         X[i].y=Random();
         cout<<"("<","<") ";
     }

     PointX a;
     PointX b;
     float d;

     Cpair2(X,length,a,b,d);

     cout<
     cout<<"最邻近点对为：("<","<")和("<","<") "<
     cout<<"最邻近距离为： "<

     return 0;
 }

 float Random()
 {
     float result=rand()%10000;
     return result*0.01;
 }

 //平面上任意两点u和v之间的距离可计算如下
 template <class Type>
 inline float dis(const Type& u,const Type& v)
 {
     float dx=u.x-v.x;
     float dy=u.y-v.y;
     return sqrt(dx*dx+dy*dy);
 }

 bool Cpair2(PointX X[], int n,PointX& a,PointX& b,float& d)
 {
     if(n<2) return false;

     PointX* tmpX = new PointX[n];
     MergeSort(X,tmpX,0,n-1);

     PointY* Y=new PointY[n];
     for(int i=0;i//将数组X中的点复制到数组Y中
     {
         Y[i].p=i;
         Y[i].x=X[i].x;
         Y[i].y=X[i].y;
     }

     PointY* tmpY = new PointY[n];
     MergeSort(Y,tmpY,0,n-1);

     PointY* Z=new PointY[n];
     closest(X,Y,Z,0,n-1,a,b,d);

     delete []Y;
     delete []Z;
     delete []tmpX;
     delete []tmpY;
     return true;
 }
 void closest(PointX X[],PointY Y[],PointY Z[], int l, int r,PointX& a,PointX& b,float& d)
 {
     if(r-l==1) //两点的情形
     {
         a=X[l];
         b=X[r];
         d=dis(X[l],X[r]);
         return;
     }

     if(r-l==2) //3点的情形
     {
         float d1=dis(X[l],X[l+1]);
         float d2=dis(X[l+1],X[r]);
         float d3=dis(X[l],X[r]);

         if(d1<=d2 && d1<=d3)
         {
             a=X[l];
             b=X[l+1];
             d=d1;
             return;
         }

         if(d2<=d3)
         {
             a=X[l+1];
             b=X[r];
             d=d2;
         }
         else {
             a=X[l];
             b=X[r];
             d=d3;
         }
         return;
     }

     //多于3点的情形，用分治法
     int m=(l+r)/2;
     int f=l,g=m+1;

     //在算法预处理阶段，将数组X中的点依x坐标排序，将数组Y中的点依y坐标排序
     //算法分割阶段，将子数组X[l:r]均匀划分成两个不想交的子集，取m=(l+r)/2
     //X[l:m]和X[m+1:r]就是满足要求的分割。
     for(int i=l;i<=r;i++)
     {
         if(Y[i].p>m) Z[g++]=Y[i];
         else Z[f++]=Y[i];
     }

     closest(X,Z,Y,l,m,a,b,d);
     float dr;

     PointX ar,br;
     closest(X,Z,Y,m+1,r,ar,br,dr);

     if(dr
     {
         a=ar;
         b=br;
         d=dr;
     }

     Merge(Z,Y,l,m,r);//重构数组Y

     //d矩形条内的点置于Z中
     int k=l;
     for(int i=l;i<=r;i++)
     {
         if(fabs(X[m].x-Y[i].x)
         {
             Z[k++]=Y[i];
         }
     }

     //搜索Z[l:k-1]
     for(int i=l;i
     {
         for(int j=i+1;j
         {
             float dp=dis(Z[i],Z[j]);
             if(dp
             {
                 d=dp;
                 a=X[Z[i].p];
                 b=X[Z[j].p];
             }
         }
     }
 }

 template <class Type>
 void Merge(Type c[],Type d[],int l,int m,int r)
 {
     int i = l,j = m + 1,k = l;
     while((i<=m)&&(j<=r))
     {
         if(c[i]<=c[j])
         {
             d[k++] = c[i++];
         }
         else
         {
             d[k++] = c[j++];
         }
     }

     if(i>m)
     {
         for(int q=j; q<=r; q++)
         {
             d[k++] = c[q];
         }
     }
     else
     {
         for(int q=i; q<=m; q++)
         {
             d[k++] = c[q];
         }
     }
 }

 template <class Type>
 void MergeSort(Type a[],Type b[],int left,int right)
 {
     if(left
     {
         int i = (left + right)/2;
         MergeSort(a,b,left,i);
         MergeSort(a,b,i+1,right);
         Merge(a,b,left,i,right);//合并到数组b
         Copy(a,b,left,right);//复制回数组a
     }
 }

 template <typename Type>
 void Copy(Type a[],Type b[], int left,int right)
 {
     for(int i=left;i<=right;i++)
         a[i]=b[i];
 }

程序结果：