算法图解第四章笔记与习题（快速排序）

算法图解第四章笔记与习题（快速排序）

4.1 分而治之

分而治之（divide and conquer）D&G是一种著名的递归式问题解决方法。——分而治之是递归的。

分而治之的算法是递归的。使用分而治之算法解决问题的过程包括两个步骤。

（1）找出基线条件，这种条件必须尽可能接单。

（2）不断地将问题分解（或者说缩小规模），直到使其符合基线条件。

例如，对于数组类问题的基线条件，则常常是数组为空，或数组内仅有一个元素。分解方式则通常是将其分为两个尽可能等大小的数组。

4.2 快速排序

def quicksort(array):
    if len(array) < 2:    # 基线条件：为空或只包含一个元素的数组是“有序”的
        return array
    else:                 # 递归条件
        pivot = array[0]                                # 选定数组中的第一个值为基准值
        less = [i for i in array[1:] if i <= pivot]     # 得到比基准值小的数字组成的数组
        greater = [i for i in array[1:] if i > pivot]   # 得到比基准值大的数字组成的数组
        return quicksort(less) + [pivot] + quicksort(greater)     # 将子数组进行快速排序，再与基准值一同组成有序数组。
    
print(quicksort([10, 5, 2, 3]))

4.3 大$O$表示法的平均情况和最糟情况

• 最糟情况指的是算法运行时可能遇到的最坏的情况。

• 平均情况指的是算法遇到时的最佳情况。（最佳情况也是平均情况）

快速排序的平均情况为$O(n\log n)$，最糟情况为$O(n^2)$。这取决于基准值选取的好坏。

当每次基准值选取的均为最差情况时，则需要对包含$n$个元素的数组进行$n$次基准值的选取。当每次基准这选取的均为最佳情况时，则仅需要$\log n$次选取。（二分）

而当每一次选取基准值后，数组的每个元素均需要和基准值进行对比，因此，每次选取基准值之后需要进行$n$次比较。

因此，快速排序的最糟情况为$O(n\ast n)=O(n^2)$，平均情况为$O(n\log n)$。

4.4 小结

• 分而治之算法将问题逐步分解。使用分而治之算法处理列表时，基线条件很可能是空数组或只包含一个元素的数组。
• 实现快速排序时，请随机地选择用作基准值的元素。快速排序的平均运行时间为$O(n\log n)$。
• 大$O$表示法中的常量有时候事关重大，这就是快速排序比合并排序快的原因所在。
• 比较简单查找和二分查找时，常量几乎无关紧要，因为列表很长时，$O(\log n)$的速度比$O(n)$快得多。

练习

习题4.1

• 请编写前述sum函数的代码。（递归求和，基线条件为数组空）

def sum(arr):
    if arr  == []:    # 基线条件：数组为空
        return 0
#    elif len(arr) == 1:    # 基线条件：数组内只有一个元素(可省略)
#        return arr[0]
    else:
        return arr[0] + sum(arr[1:])    # 递归条件：计算数组中第一个元素外元素的和，并与第一个元素再相加

习题4.2

• 编写一个递归函数来计算列表包含的元素数。

def count(arr):
    if arr  == []:    # 基线条件：数组为空
        return 0
#    elif len(arr) == 1:    # 基线条件：数组内只有一个元素(可省略)
#        return 1
    else:
        return 1 + count(arr[1:])    # 递归条件：计算数组中第一个元素外剩余元素个数，再加一

上面两题中，数组内只有一个元素的情况均可省略。因为数组只有一个元素——即剩余数组为空的情况，已经被基线条件包含了，因此可以省略。

习题4.3

• 找出列表中最大的数字。

def max(arr):
    if arr  == []:    # 基线条件：数组为空
        return None
    elif len(arr) == 1:    # 基线条件：数组内只有一个元素
        return arr[0]
    elif len(arr) == 2:    # 基线条件：数组内有两个元素，返回最大值（可用内置的max()代替）
        if arr[0] > arr[1]:
            return arr[0]
        else:
            return arr[1]
    else:
        return max([arr[0], max(arr[1:])])    # 递归条件：比较第一个元素与数组中剩余元素的最大值。

习题4.4

• 还记得第1章介绍的二分查找吗？它也是一种分而治之算法。你能 找出二分查找算法的基线条件和递归条件吗？

基线条件：数组中仅剩一个元素（是否为查找元素为另外的判断，不属于基线条件之内）

递归条件：将数组分为两部分，如果查找值比第一部分的最大值小，则对第一部分继续二分查找，否则对剩余部分进行二分查找。

使用大O表示法时，下面各种操作都需要多长时间？

习题4.5

• 打印数组中每个元素的值。

每个元素进行一次打印操作。$O(n) $。

习题4.6

• 将数组中每个元素的值都乘以2。

n个元素进行一次乘法操作。故为$O(n)$ 。

习题4.7

• 只将数组中第一个元素的值乘以2。

$O(1)$。

习题4.8

• 根据数组包含的元素创建一个乘法表，即如果数组为[2, 3, 7, 8, 10]，首先将每个元素 都乘以2，再将每个元素都乘以3，然后将每个元素都乘以7，以此类推。

n个元素做n次乘法操作。故为$O(n^2)$ 。