Fisher Information学习笔记

Fisher Infomation的意义

Fisher Information 顾名思义，就是用来衡量样本数据的信息量的，通常我们有一组样本，我们在机器学习中需要估计出样本的分布，我们是利用样本所具有的信息量来估计参数的，样本中具有的信息量越多，估计的参数越准，样本的分布估计的就越接近真实分布，这里的信息量就是用Fisher Information来表示的。

什么样本信息量比较大？

我们用样本发生的概率来衡量样本本身所携带的信息量，如果样本发生的概率比较大，那么说明我们在这个样本上可以学习到的东西不多，例如机器学习中，样本一上来概率就都是1，那么参数w就基本学习不出了，相反，如果样本发生的概率比较小，就可以认为该样本携带的信息很多。

Fisher Information目标

对于最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）的基本思想。对于随机变量X～f(x|w)，直觉上，当参数w取到的值接近准确值时，似然函数的值应该很大，所以当参数w取到准确值时，似然函数的值应该取到最大值，或者（对数）似然函数的一阶导数为0。
我们定义对数似然函数log(x|w) = log(f(x|w))，令它的导数为0，这有公式 log′(x|w)=∂logf(x|w)∂w=f(x|w)′f(x|w)
根据上文，如果 log′(x|w) 非常接近于0，那么我们基本学习不到太多跟参数w有关的知识，换句话说模型基本不会更新了；相反，如果 |log′(x|w)| 很大，或者说 |log′(x|w)2| 很大，那么样本就提供了比较多的关于参数w的信息。因此，我们可以用 |log′(x|w)2| 来衡量提供的信息（information）。但是X是随机变量，所以我们就考虑 |log′(x|w)2| 的期望值 E(log′(x|w)2) 。 我们使用Info(w)表示Fisher Information。

Fisher Information三大定义

定义1：

综上所述，Fisher Information可以直接定义：
Info(w)=E(log′(x|w)2)=∫log′(x|w)2f(x|w)dx

定义2：

由于 ∫f′(x|w)dx=∂∫f(x|w)dx/∂w=0 以及 ∫f′′(x|w)dx=∂2∫f(x|w)dx/∂w2=0 ，我们可以计算得到：
E(log′(x|w))=∫log′(x|w)f(x|w)dx=∫f′(x|w)f(x|w)f(x|w)dx=∫f′(x|w)dx=0
所以我们进一步可以得到定义2：
Info(w)=Var(log′(x|w))
And Var(log′(x|w))=E(log′(x|w)2)−E2(log′(x|w))=E(log′(x|w)2) ;

定义3：

log′′(x|w)=∂∂w[f′(x|w)f(x|w)]=f′′(x|w)f(x|w)−[f′(x|w)]2f2(x|w)=f′′(x|w)f(x|w)−[log′(x|w)]2
然后我们求二次导数的期望：
E(log′′(x|w))=∫[f′′(x|w)f(x|w)−[log′(x|w)]2]f(x|w)dx=∫f′′(x|w)dx−E(log′(x|w)]2)=−Info(w) ;
所以我们可以得到定义3：
Info(w)=−E(log′(x|w)]2)=−∫∂2log(f(x|w))∂2wf(x|w)dx
在大多数的问题中，定义3最为常用，我们直接求log似然的二次导数来计算Fisher Information。