机器学习：线性回归、局部加权线性回归、岭回归、前向逐步回归

所谓回归，简单来讲就是根据现有数据拟合出函数，然后根据该函数进行一些预测工作。分类的输出是标称型，而回归的输出为数值型。接下来介绍几种常见的全局型回归方法

一. 线性回归（Linear Regression）

对于二维数据而言，线性回归就是找出一个一次函数去拟合数据，使得平方误差最小。是的，这里的损失函数是平方损失。平方误差可以写做：

∑im=(yi−xTiw)2

矩阵写法为：

(y−Xw)T(y−Xw)

对 w 求导并令其等于0，于是解出 w 如下：

w′=(XTX)−1XTy

w′ 即为最优解，这就是“普通最小二乘法”，当然在应用此算法之前需要的判断 XTX 的可逆性。如果不可逆，那么此办法就不可用，应该用岭回归算法，具体在第三部分讨论。

二. 局部加权线性回归（Locally Weighted Linear Regression）

我们知道并不是所有数据都能用线性回归来拟合，有的时候数据有转折或是其他规律。于是有了局部加权线性回归，该方法更加关注将要预测的数据周围的点，也就是通过高斯核给预测点周围的数据赋予权值，选择合适的高斯系数能使结果更好，当然这种算法的缺点是：对于每一个要预测的点，都要重新依据整个数据集计算一个线性回归模型出来，使得算法代价极高。

该算法的详细介绍有一篇blog写得很好————【机器学习】局部加权线性回归

三. 岭回归（Ridge Regression）

岭回归是一种常见的shrinkage coefficient（缩减系数）方法，还有其他缩减方法，如lasso（效果很好但计算复杂）、LAR、PCA。所谓shrinkage，就是通过一些手段来减少不重要的参数。

岭回归是一种专用于共线性数据分析的有偏估计回归方法，实质上是一种改良的最小二乘估计法，通过放弃最小二乘法的无偏性，以损失部分信息、降低精度为代价获得回归系数更为符合实际、更可靠的回归方法，对病态数据的拟合要强于普通最小二乘法。

岭回归具有什么作用呢，我们知道在普通最小二乘法里有一个基本要求是 XTX 可逆，岭回归就是对 XTX 加上了一个 λI 使其可逆，此时回归系数的计算公式为：

w′=(XTX+λI)−1XTy

当 λ 趋于0时，回归系数 w 的值和普通线性回归得到的一致，当 λ 趋于无穷大时，回归系数接近于0，可以通过交叉验证的方法选择出使得测试结果最好的 λ 。

注意，在加入 λ 有一个约束条件如下：

∑k=1nw2k⩽λ

限制 w 的范围，达到稳定的效果，关于稳定性的解释这里有一个例子。在lasso算法里，约束条件变成了绝对值，计算程度比较复杂。

四. 前向逐步回归（Foward Stagewise Regression）

前向逐步回归算法可以得到和lasso差不多的效果，但更简单，是一种贪心算法。一开始，所有的权重都设置为1，然后每一步所做的决策是对某个权重增加或减少一个很小的值，算法伪代码如下：

数据标准化，使其分布满足0均值和单位方差 
在每轮迭代过程中:
    设置当前最小误差lowestError为正无穷
    对每个特征: 
        增大或缩小: 
            改变一个系数得到一个新的w
            计算新W下的误差 
            如果误差Error小于当前最小误差lowestError:
                设置Wbest等于当前的W
        将1^设置为新的Wbest

五. 参考

【机器学习】局部加权线性回归

《机器学习实战》