数据结构与算法分析（三） —— 关于树的深入探讨

前面介绍的链表结构的线性访问时间，在大规模输入数据时显得太慢了，因此，需要介绍一种新的数据结构，二叉查找树（BST）。

我们先对BST及其引申树的因果关系作介绍，再分别进行详细介绍，最后进行一些比较。

BST可以实现对数平均开销，但这严重依赖于输入，即要求输入是随机的，如果输入是有序数据，由于BST失衡，导致线性平均开销。

因此，需要对BST进行改造，引入平衡的结构条件。平衡二叉树的常用算法很多，形成的树结构有红黑树、AVL树、B-/B+树、伸展树等。

AVL树是通过附加一个平衡条件（每个节点的左子树和右子树的高度最多差1）来改造的，所以它也被称为高度平衡树。
AVL树可以保证最坏情形下对数时间的时间界。

伸展树是通过自调整类结构来改造的。伸展树的各种操作的摊还时间为对数时间。

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1、树

（1）树的定义一般采用递归的方式。
实现树的常用方法是将每个节点的所有儿子都放在树结点的链表中。
树的应用很多，流行的用法之一是包括UNIX和DOS在内的许多常用操作系统中的目录结构。

（2）在具体一点的二叉树，有个很重要的性质就是其平均深度为0(sqrt(N))。
二叉树的主要用处之一是在编译器的设计领域。

（3）上面说的应用实际上具体为表达式树，这里要了解先序遍历（右、左、节点），中序遍历（左、节点、右）和后序遍历（左、右、节点）。

（4）二叉树的另一个主要应用即在查找中的使用，即后面我们要详述的二叉查找树。

2、BST

（1）定义

• 若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
• 若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
• 左、右子树也分别为二叉排序树；
• 没有键值相等的结点。

（2） 操作效率
查找最好时间复杂度O(logN)，最坏时间复杂度O(N)。
插入删除操作算法简单，时间复杂度与查找差不多。

（3）插入和删除操作容易导致BST失衡，进一步引入后面的平衡二叉树。

（4）实现
详见博文BST的Java实现

3、AVL树

（1）定义

• 本身首先是一棵二叉搜索树
• 它的左子树和右子树都是AVL树
• 左子树和右子树的高度差不能超过1

（2）操作效率

• 查找 ： AVL不会出现最差情况的BST(单支树)，因此查找在平均和最坏情况下都是O(log n)
• 插入 ： AVL的每一次插入结点操作最多只需要旋转1次(单旋转或双旋转)，因此总体上插入操作的代价仍然在O(logN)级别上(插入结点需要首先查找插入的位置)
• 删除 ： 每一次删除操作最多需要O(logN)次旋转，因此，删除操作的时间复杂度为O(logN)+O(logN)=O(2logN)

（3）一些性质

• 一棵N个结点的AVL树的其高度保持在0(log(N))，不会超过3/2log(N+1)
• 一棵N个结点的AVL树的平均搜索长度保持在0(log(N))
• 在高度为h的AVL树中，最少节点数S(h)=S(h-1)+S(h-2)+1，其中S(0)=1，S(1)=2

（4）详见博文AVL的java实现

4、伸展树

（1）放弃附加平衡条件，允许树有任意的深度，但每次操作（一个节点被访问）之后都要使用一个调整规则（此节点经一系列AVL树的旋转被推到根上）来进行调整，是的后续操作高效。

（2）与带平衡结构的树相比较，优点在于：

• 由于它们可以根据具体使用情况进行调整，所以在使用模式不均匀的情况下更加有效
• 由于无需存储平衡信息或者其它限制信息，所以所需的存储空间更小
• 它们的查找和更新算法概念和操作都很简单，易于实现

缺点在于：

• 需要更多的局部调整，尤其是在查找期间。而那些有明确限制的数据结构仅需要在更新期间进行调整，查找期间则不用
• 一系列查找操作中的某一个可能会耗时较长，这在实时应用程序中可能是一个不足之处

（3）各种基本操作的摊还时间复杂度为0(log(n))

5、B树

（1）B-tree，是一种平衡的多叉树，称为B树（或B-树、B_树）。
阶为M的B-树的定义：

• 根结点至少有两个儿子
• 每个非根节点所包含的关键字个数 j 满足：┌M/2┐ - 1 <= i <= m - 1
• 除根结点以外的所有结点（不包括叶子结点）的度数正好是关键字总数加1，故内部子树个数 k 满足：┌M/2┐ <= k <= M
• 所有的叶子结点都位于同一层

（2）B+树是应文件系统所需而出的一种B-树的变型树。
M阶的B+树定义为：

• 数据项存储在树叶上
• 非叶节点存储直到M-1个关键字以指示搜索的方向，关键字i代表子树i+1中的最小的关键字
• 树的根或者是一片树叶，或者其儿子数在2和M之间
• 除根外，所有非树叶节点的儿子数k满足┌M/2┐ <= k <= M
• 所有的树叶都是在相同的深度上，并有┌L/2┐和L之间个数据项，其中L的确定应用时的所存储的项大小来选择

（3）B树用处
当数据量大的术后，无法放入驻村，这时就需要从磁盘进行读写了。而一次磁盘的访问价值大约是40万条指令，由于磁盘访问代价太高，因此，可以用大量的计算来节省一次磁盘访问。
为了大幅降低磁盘访问次数，可以将BST增加分支减小高度，即B树的理论雏形。亦可完全二叉树的高度约为log2(N)，而一颗完全M叉树的高度约为logM(N)。