动态规划的思想

 动态规划的思想

     动态规划（ dynamic programming ）算法是解决多阶段决策过程最优化问题的一种常用方法，难度比较大，技巧性也很强。利用动态规划算法，可以优雅而高效地解决很多贪婪算法或分治算法不能解决的问题。动态规划算法的基本思想是：将待求解的问题分解成若干个相互联系的子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解；对于重复出现的子问题，只在第一次遇到的时候对它进行求解，并把答案保存起来，让以后再次遇到时直接引用答案，不必重新求解。动态规划算法将问题的解决方案视为一系列决策的结果，与贪婪算法不同的是，在贪婪算法中，每采用一次贪婪准则，便做出一个不可撤回的决策；而在动态规划算法中，还要考察每个最优决策序列中是否包含一个最优决策子序列，即问题是否具有最优子结构性质。

    动态规划算法的有效性依赖于待求解问题本身具有的两个重要性质：最优子结构性质和子问题重叠性质。

1 、最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结构性质（即满足最优化原理）。最优子结构性质为动态规划算法解决问题提供了重要线索。

2 、子问题重叠性质。子问题重叠性质是指在用递归算法自顶向下对问题进行求解时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题会被重复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只计算一次，然后将其计算结果保存在一个表格中，当再次需要计算已经计算过的子问题时，只是在表格中简 单地查看一下结果，从而获得较高的解题效率。

当我们已经确定待解决的问题需要用动态规划算法求解时，通常可以按照以下步骤设计动态规划算法：

1 、分析问题的最优解，找出最优解的性质，并刻画其结构特征；

2 、递归地定义最优值；

3 、采用自底向上的方式计算问题的最优值；

4 、根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。

1 ～ 3 步是动态规划算法解决问题的基本步骤，在只需要计算最优值的问题中，完成这三个基本步骤就可以了。如果问题需要构造最优解，还要执行第 4 步； 此时，在第 3 步通常需要记录更多的信息，以便在步骤 4 中，有足够的信息快速地构造出最优解。

 

     动态规划其实质上是通过开辟记录表，记录已求解过的结果，当再次需要求解的时候，可以直接到那个记录表中去查找，从而避免重复计算子问题来达到降低时间复杂度的效果。实际上是一个空间换时间的算法。动态规划，通常可以把指数级的复杂度降低到多项式级别。一般算法书都会讲能不能用动态规划来求解问题，通常是判断有没有最有解结构，通常是通过“剪切技术”来判断：即证明问题的一个最优解中，使用的子问题的解本身也必须是最优的。通常是假设一个子问题不是最优的，那么找到一个最优的子问题来替换这个子问题，那么产生的最优解将优于已找到的那个最优解，从而矛盾。
    其实用不用动态规划来求解问题，还有一个关键是有没有重复的子问题。这也是使用动态规划与贪心法的区别所在。贪心法求解的问题也满足最优解结构，只是它能够在每一步都能够“贪婪的”选出当前唯一的最优子问题，并且当前的选择，是不依赖以前的选择的，通过这种“贪婪的选择”选到最后时，就得到了全局的最优解了，不会产生重复的子问题。而动态规划，在一步选择的时候，是通过从以前求出的若干个与本步骤相关的子问题最优解中选择最好的那个，加上这一步的值，来构
造这一步那个子问题的最优解，而如果以前求出的若干个子问题不保存下来，就需要重新求(通常是递归所致)。动态规划用武之地也无非是保存这些重复的子问题而避免重新求解而达到高效的目的。
      动态规划的难点在于写出递推式。动态规划的步骤其实是很固定的，而每一个问题的递推式如何下手得到会因不同的问题而不同，这是个最关键的问题,没有通用的方法。通常是根据题目的问题，最终要求的问题，都会有几个数，以两个数M,N为例，然后让求最优值。你就可以使用v[M][N]数组来保存最有解，然后把问题替换成i,j两个数的问题，试图通过v[i][j]与前面求出来的解建立递推关系。建立递推关系后，你可以简单的写出递归形式的程序，这个程序只需要加上一条if(v[i][j]已求出) return v[i][j];就轻松改称了动态规划,这就是lookup的形式。当然如果已经有了递推式，你也很容易写出从底向上推的迭代形式。
     一般的算法书讲的动态规划都是来求解最优解的问题，或许最初是用来求解规划问题的，而规划必然是最优解问题，其实大多数的问题只要存在重复的子问题都可以使用动态规划的思路，就看你的重复的子问题是不是多的值得使用空间来换时间这个思路了。