曲面扰动理论之C1曲面的扰动

曲面扰动理论之C1曲面的扰动

定义曲面${\chi }_{\Gamma }$，定义$u_{\Gamma }\in H_{\#}^1(\Gamma )$，它是如下弱形式的解：
$$(33){\int }_{\Gamma }{\nabla }_{\Gamma }{u}_{\Gamma }\cdot {\nabla }_{\Gamma }v={\int }_{\Gamma }{f}_{\Gamma }v\forall v\in H_{\#}^1(\Gamma )$$
定义误差矩阵$\mathbf{E},{\mathbf{E}}_{\Gamma }\in {\mathbb{R}}^{(n+1)\times (n+1)}$，
$$(34){\int }_{\Gamma }{\nabla }_{\Gamma }v\cdot {\nabla }_{\Gamma }w-{\int }_{\gamma }{\nabla }_{\gamma }v\cdot {\nabla }_{\gamma }w={\int }_{\gamma }{\nabla }_{\gamma }v\cdot \mathbf{E}{\nabla }_{\gamma }w={\int }_{\Gamma }{\nabla }_{\Gamma }v\cdot {\mathbf{E}}_{\Gamma }{\nabla }_{\Gamma }w$$
对于所有的$v,w\in H^1(\Gamma )$和所有的lift$v,w\in H^1(\gamma )$都成立。所谓的lift，指的是定义曲线$\Gamma$上的函数值$v$，它和$\gamma$上的函数$\tilde{v}$满足如下的关系，
$$v=\tilde{v}\circ \chi \circ {\chi }_{\Gamma }^{-1}$$

对于不同正则性的曲面，我们有不同的对于$\mathbf{E}$和${\mathbf{E}}_{\mathbf{\Gamma }}$的估计。

C1曲面的扰动

首先，我们
那么我们有如下的引理，
$$\begin{array}{l}\text{ Lemma }14\text{ (relation between tangential gradients). If }\tilde{v}:\gamma \to \mathbb{R}\text{ is of class }{H}^1\text{ , }\\ \text{ then the tangential gradients }{\nabla }_{\gamma }v\text{ and }{\nabla }_{\Gamma }v\text{ satisfy }\\ \begin{array}{lll}\text{ (35) }& {\nabla }_{\Gamma }v=D{\chi }_{\Gamma }{\mathbf{g}}_{\Gamma }^{-1}D{\chi }^t{\nabla }_{\gamma }v,& {\nabla }_{\gamma }v=D\chi {\mathbf{g}}^{-1}D{\chi }_{\Gamma }^t{\nabla }_{\Gamma }v\end{array}\end{array}$$
证明:
由曲面梯度的第一个定义，
$${\nabla }_{\Gamma }v=D{\chi }_{\Gamma }{\mathrm{g}}_{\Gamma }^{-1}\nabla \left(v\circ {\chi }_{\Gamma }\right)=D{\chi }_{\Gamma }{\mathrm{g}}_{\Gamma }^{-1}\nabla (\tilde{v}\circ \chi )=D{\chi }_{\Gamma }{\mathrm{g}}_{\Gamma }^{-1}D{\chi }^t{\nabla }_{\gamma }\tilde{v}$$
因为$C^1$在$H^1$是稠密的，得证。第二个证明类似。

$$\begin{array}{l}\text{ Lemma }15\text{ (geometric consistency). The error matrices }\mathrm{E}\text{ and }{\mathrm{E}}_{\Gamma }\text{ read on }\mathcal{V}\\ \text{ (36) }\mathrm{E}=D\chi \left(\frac{q_{\Gamma }}{q}{\mathrm{g}}_{\Gamma }^{-1}-{\mathrm{g}}^{-1}\right)D{\chi }^t\\ \text{ (37) }{\mathrm{E}}_{\Gamma }=D{\chi }_{\Gamma }\left({\mathrm{g}}_{\Gamma }^{-1}-\frac{q}{q_{\Gamma }}{\mathrm{g}}^{-1}\right)D{\chi }_{\Gamma }^t\end{array}$$
证明：
使用(35)，以及投影算子的参数化定义，我们立得：
$${\int }_{\Gamma }{\nabla }_{\Gamma }v\cdot {\nabla }_{\Gamma }w={\int }_{\gamma }{\nabla }_{\gamma }v\cdot \frac{q_{\Gamma }}{q}\left(D\chi {\mathbf{g}}_{\Gamma }^{-1}D{\chi }^t\right){\nabla }_{\gamma }w$$

下面，我们定义两个重要的常量，用$|D\chi (\mathrm{y})|$和$\left|D^{-}\chi (\mathrm{y})\right|$来表示$D\chi (\mathbf{y})$最大奇异值和最小奇异值。
定义稳定化常数如下，
$$\begin{array}{ll}\text{ (38) }& S_{\chi }:={\sup }_{\mathbf{y}\in \mathcal{V}}\frac{\max \left\{|D\chi (y)|,|D{\chi }_{\Gamma }(y)|\right\}}{\min \left\{|D^{-}\chi (y)|,|D^{-}{\chi }_{\Gamma }(y)|\right\}}\end{array}$$
定义几何精度的相对度量如下，
$$(39){\lambda }_{\infty }:=\underset{\mathbf{y}\in \mathcal{V}}{\sup }\frac{\left|D\left(\chi -{\chi }_{\Gamma }\right)(\mathbf{y})\right|}{\min \left\{\left|D^{-}\chi (\mathbf{y})\right|,\left|D^{-}{\chi }_{\Gamma }(\mathbf{y})\right|\right\}}$$

那么我们有，
$$\begin{array}{l}\text{ Lemma }16\text{ (error estimates for }\mathrm{g}\text{ and }q).\text{ The following error estimates are valid}\\ \begin{array}{ll}\text{ (40) }& {\Vert \mathbf{I}-{\mathrm{g}}_{\Gamma }{\mathrm{g}}^{-1}\Vert }_{L_{\infty }(\mathcal{V})},{\Vert \mathbf{I}-{\mathrm{g}}_{\Gamma }^{-1}\mathrm{g}\Vert }_{L_{\infty }(\mathcal{V})}\lesssim S_{\mathcal{X}}{\lambda }_{\infty }\\ \text{ (41) }& {\Vert 1-q^{-1}{q}_{\mathrm{I}}\Vert }_{L_{\infty }(\mathcal{V})},{\Vert 1-q_{\Gamma }^{-1}q\Vert }_{L_{\infty }(\mathcal{V})}\lesssim S_{\mathcal{X}}^n{\lambda }_{\infty }\end{array}\end{array}$$
这里，如何理解矩阵的L无穷范数，好的，让我们来看看。
证明：
$$\left(\mathrm{g}-{\mathrm{g}}_{\mathrm{\Gamma }}\right)(\mathrm{y})=D\chi (\mathrm{y}{)}^{t}D\left(\chi -{\chi }_{\mathrm{T}}\right)(\mathrm{y})+D\left(\chi -{\chi }_{\mathrm{T}}\right)(\mathrm{y}{)}^{t}D{\chi }_{\Gamma }(\mathrm{y})\forall \mathrm{y}\in \mathcal{V}$$
(40)的一个断言成立，第二个类似。下面来证明(41)，
$$q(\mathbf{y})-q_{\Gamma }(\mathbf{y})=\frac{\det \mathbf{g}(\mathbf{y})-\det {\mathbf{g}}_{\Gamma }(\mathbf{y})}{q(\mathbf{y})+q_{\Gamma }(\mathbf{y})}\forall \mathbf{y}\in \mathcal{V}$$
有平方差公式，我们知道这是对的。因为$q=\sqrt{\det \mathbf{g}}=\sqrt{{\prod }_{i=1}^n{\lambda }_i(\mathbf{g})}$，我们有
$$(42){\left|D^{-}\chi (\mathrm{y})\right|}^n\le q(\mathrm{y})\le |D\chi (\mathrm{y}){|}^n\forall \mathrm{y}\in \mathcal{V}$$
所以呢，
$$\left|q(\mathbf{y}{)}^{-1}\left(q-q_{\Gamma }\right)(\mathbf{y})\right|\lesssim {\left|D^{-}\chi (\mathbf{y})\right|}^{-n}\left|D\left(\chi -{\chi }_{\Gamma }\right)(\mathbf{y})\right||D\chi (\mathbf{y}){|}^{n-1}\forall \mathbf{y}\in \mathcal{V}$$
这个第一个不等号怎么理解？我也很迷惑。由此，(41)第一部分立可证，第二部分类似证法。

下面介绍一个模等价定理，

证明：
使用曲面导数的参数化定义，就可以证明了。

给定一个利普希茨的曲面$\gamma$，让${\mathcal{S}}_{eq}$是利普希茨曲面集合，使得引理17成立于一个一致等价的常数$C_{eq}$。
$$\begin{array}{l}\text{ Lemma 18 (uniform Poincareˊ-Friedrichs constant). Given a Lipschitz surface }\gamma \\ \text{ for every }v\in H_{\#}^1(\Gamma )\text{ with }\Gamma \in {\mathcal{S}}_{\text{eq }}\text{ there holds that }\\ \begin{array}{ll}\text{ (45) }& \Vert v{\Vert }_{L_2(\Gamma )}\lesssim {\Vert {\nabla }_{\Gamma }u\Vert }_{L_2(\Gamma )}\\ \text{ with the constant hidden in }& \lesssim \text{ depending only on }\gamma \text{ and }{C}_{eq}\end{array}\end{array}$$
证明：
只需要证明
$$\Vert v{\Vert }_{L_2(\Gamma )}\le C{\Vert {\nabla }_{\Gamma }v\Vert }_{L_2(\Gamma )}\forall v\in H^1(\Gamma )$$
我们用反证法，假设$v_k\in H_{\#}^1\left({\Gamma }_k\right)$，使得
$${\Vert v_k\Vert }_{L_2\left({\Gamma }_k\right)}=1{\Vert {\nabla }_{{\Gamma }_k}{v}_k\Vert }_{L_2\left({\Gamma }_k\right)}\to 0$$
根据引理17，我们有
$${\Vert {\tilde{v}}_k\Vert }_{L_2(\gamma )}\simeq 1,{\Vert {\nabla }_{\gamma }{\tilde{v}}_k\Vert }_{L_2(\gamma )}\to 0$$
因为$L_2$嵌入到$H_1$，根据嵌入定理，我们知道，在$H^1$中，存在${\left\{{\tilde{v}}_k\right\}}_k$收敛到$\tilde{v}\in H^1(\gamma )$。易知，因${\nabla }_{\gamma }\tilde{v}=0$，所以$v$是一个常数。下面只要证明$\tilde{v}=0$，即可推出矛盾。

对$\forall ϵ>0$，$\exists k$足够大，使得${\Vert {\tilde{v}}_k-\tilde{v}\Vert }_{L_2(\gamma )}\le ϵ$，那么
$$\begin{array}{rl}|v|& ={\left|{\Gamma }_k\right|}^{-1}\left|{\int }_{{\Gamma }_k}\tilde{v}\right|={\left|{\Gamma }_k\right|}^{-1}\left|{\int }_{{\Gamma }_k}\tilde{v}-v_k\right|\\ & \le {\left|{\Gamma }_k\right|}^{-1/2}{\Vert \tilde{v}-v_k\Vert }_{L_2\left({\Gamma }_k\right)}\le C_{eq}{\left|{\Gamma }_k\right|}^{-1/2}{\Vert \tilde{v}-{\tilde{v}}_k\Vert }_{L_2(\gamma )}\le C_{eq}{\left|{\Gamma }_k\right|}^{-1/2}ϵ\end{array}$$
对常数1使用引理17，我们有$\left|{\Gamma }_k\right|\simeq |\Gamma |$，结果立得。

$$\begin{array}{l}\text{ Lemma }19\text{ (perturbation error estimate for }{C}^{1,\alpha }\text{ surfaces). Let }u\in H_{\#}^1(\gamma )\text{ solve }\\ \text{ (19) and }{u}_{\Gamma }\in H_{\#}^1(\Gamma )\text{ solve (33). Then, the following error estimate for }u-u_{\Gamma }\\ \text{ holds }\\ \begin{array}{ll}\text{ (46) }& {\Vert {\nabla }_{\gamma }\left(u-u_{\Gamma }\right)\Vert }_{L_2(\gamma )}\lesssim {\lambda }_{\infty }{\Vert f_{\Gamma }\Vert }_{H^{-1}(\Gamma )}+{\Vert fq{q}_{\Gamma }^{-1}-f_{\Gamma }\Vert }_{H_{\#}^{-1}(\Gamma )}\\ \text{ where the hidden constant depends on }{S}_{\chi }\text{ defined in (38). }& \end{array}\end{array}$$
证明：我们分三步证明。
1、误差表示
使用误差矩阵的定义，我们可以写下
$${\Vert {\nabla }_{\gamma }\left(u-u_{\Gamma }\right)\Vert }_{L_2(\gamma )}^2={\int }_{\gamma }{\nabla }_{\gamma }u\cdot {\nabla }_{\gamma }v-{\int }_{\Gamma }{\nabla }_{\Gamma }{u}_{\Gamma }\cdot {\nabla }_{\Gamma }v+{\int }_{\gamma }{\nabla }_{\gamma }{u}_{\Gamma }\cdot \mathbf{E}{\nabla }_{\gamma }v$$
进而有，
$${\Vert {\nabla }_{\gamma }\left(u-u_{\Gamma }\right)\Vert }_{L_2(\gamma )}^2={\int }_{\Gamma }\left(f\frac{q}{q_{\Gamma }}-f_{\Gamma }\right)v+{\int }_{\gamma }{\nabla }_{\gamma }{u}_{\Gamma }\cdot \mathbf{E}{\nabla }_{\gamma }v$$
2、几何误差矩阵
重写$\mathbf{E}$为
$$\mathbf{E}=D\chi \left(\left(q^{-1}{q}_{\Gamma }-1\right){\mathrm{g}}_{\Gamma }^{-1}-{\mathbf{g}}^{-1}\left(\mathbf{I}-{\mathbf{g}\mathbf{g}}_{\Gamma }^{-1}\right)\right)D{\chi }^t$$
使用$g$和$q$的误差估计式，我们可以得到
$$\Vert \mathbf{E}{\Vert }_{L_{\infty }(\gamma )}\lesssim {\lambda }_{\infty }$$
3、最后的估计
由holder不等式，我们有
$${\int }_{\gamma }\nabla u_{\Gamma }\cdot \mathbf{E}{\nabla }_{\gamma }v\le {\Vert {\nabla }_{\gamma }v\Vert }_{L_2(\gamma )}{\Vert {\nabla }_{\gamma }{u}_{\Gamma }\Vert }_{L_2(\gamma )}\Vert \mathbf{E}{\Vert }_{L_{\infty }(\gamma )}$$
使用模等价定理，我们可以得到
$${\int }_{\Gamma }\left(f\frac{q}{q_{\Gamma }}-f_{\Gamma }\right)v={\int }_{\Gamma }\left(f\frac{q}{q_{\Gamma }}-f_{\Gamma }\right)(v-\overline{v})\le {\Vert fq{q}_{\Gamma }^{-1}-f_{\Gamma }\Vert }_{H_{\#}^{-1}(\Gamma )}{\Vert {\nabla }_{\Gamma }v\Vert }_{L_2(\Gamma )}$$
最后利用引理17即可。