岭回归直接得到最优解的公式推导

线性回归

下面是线性回归的公式推导，没有加上 L2 正则化因子。

假设 $\hat{y}=Xw$，因为

$$\begin{array}{rl}L(w)& =||\hat{y}-y|{|}_2^2=||Xw-y|{|}_2^2\\ & =(Xw-y{)}^T(Xw-y)\\ & =w^T{X}^{T}Xw-y^{T}Xw-w^T{X}^{T}y+y^{T}y,\end{array}$$

所以
$$\frac{\partial L(w)}{\partial w}=2X^{T}Xw-X^{T}y-X^{T}y,$$
令 $\frac{\partial L(w)}{\partial w}=0$，得
$$w=(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}y.$$

• 参考：周志华《机器学习》P55 “线性回归”这一节的叙述。

岭回归

上面定义的 $L(w)=||\hat{y}-y|{|}_2^2$ 是经验风险，在经验风险的基础上加上表示模型复杂度的正则化项（regularization）或者惩罚项（penalty term），即结构风险。所以线性回归是经验风险最小化，岭回归是结构风险最小化。

• 参考：李航《统计学习方法》（第二版）P18关于“经验风险最小化”与“结构风险最小化”一节的叙述。

岭回归其实就是在损失函数上加上了一个 L2 正则，使得每个变量的权重不会太大。当某些特征权重比较大的时候，自变化变化一点点，就会导致因变量变化很大，使得方差变大，有过拟合风险。

此时损失函数变为：

$$\begin{array}{rl}L(w)& =||\hat{y}-y|{|}_2^2+\lambda ||w|{|}_2^2=||Xw-y|{|}_2^2+\lambda w^{T}w\\ & =(Xw-y{)}^T(Xw-y)+\lambda w^{T}w\\ & =w^T{X}^{T}Xw-y^{T}Xw-w^T{X}^{T}y+y^{T}y+\lambda w^{T}w,\end{array}$$

所以

$$\frac{\partial L(w)}{\partial w}=2X^{T}Xw-X^{T}y-X^{T}y+2\lambda w,$$
令 $\frac{\partial L(w)}{\partial w}=0$，得
$$w=(X^{T}X+\lambda E{)}^{-1}{X}^{T}y.$$

这里 $E$ 是一个单位矩阵。

参考资料

1、岭回归原理及代码实现
https://blog.csdn.net/computerme/article/details/50486937
2、矩阵求导公式，及MathJax公式编辑
https://blog.csdn.net/lilong117194/article/details/77418269
3、MathJax基本的使用方式
https://blog.csdn.net/u010945683/article/details/46757757