费雪信息 (Fisher information)

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作者：知乎用户
链接：https://www.zhihu.com/question/26561604/answer/33275982
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首先我们看一下 Fisher Information 的定义：
假设你观察到 i.i.d 的数据 服从一个概率分布,是你的目标参数（for simplicity， 这里是个标量，且不考虑 nuissance parameter），那么你的似然函数（likelihood）就是：

为了解得Maximum Likelihood Estimate(MLE)，我们要让log likelihood的一阶导数得0，然后解这个方程，得到
这个log likelihood的一阶导数也叫，Score function ：

那么Fisher Information，用表示，的定义就是这个Score function的二阶矩（second moment）。
一般情况下（under specific regularity conditions）可以很容易地证明，, 从而得到：

于是得到了Fisher Information的第一条数学意义：就是用来估计MLE的方程的方差。它的直观表述就是，随着收集的数据越来越多，这个方差由于是一个Independent sum的形式，也就变的越来越大，也就象征着得到的信息越来越多。

而且，如果log likelihood二阶可导，在一般情况下（under specific regularity conditions）可以很容易地证明:

于是得到了Fisher Information的第二条数学意义：log likelihood在参数真实值处的负二阶导数的期望。这个意义好像很抽象，但其实超级好懂。
首先看一下一个normalized Bernoulli log likelihood长啥样：

对于这样的一个log likelihood function，它越平而宽，就代表我们对于参数估计的能力越差，它高而窄，就代表我们对于参数估计的能力越好，也就是信息量越大。而这个log likelihood在参数真实值处的负二阶导数，就反应了这个log likelihood在顶点处的弯曲程度，弯曲程度越大，整个log likelihood的形状就越偏向于高而窄，也就代表掌握的信息越多。

然后，在一般情况下（under specific regularity conditions），通过对score function在真实值处泰勒展开，然后应用中心极限定理，弱大数定律，依概率一致收敛，以及Slutsky定理，可以证明MLE的渐进分布的方差是 ，即 , 这也就是 Fisher Information的第三条数学意义。不过这样说不严谨，严格的说，应该是 , 这里 是当只观察到一个X值时的Fisher Information，当有n个 i.i.d 观测值时， 。所以这时的直观解释就是，Fisher Information反映了我们对参数估计的准确度，它越大，对参数估计的准确度越高，即代表了越多的信息。

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作者：小Q痴子
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参数估计的本质是，假设样本的数据来自于某一个分布，然后利用样本中蕴含的信息来估计参数。一个自然的问题就是：对于分布里的未知参数，这个样本数据给出了多少信息呢？Fisher Information 就衡量了这样的“信息”。

什么样的样本给出的信息更多？直觉上思考这个问题，如果一个事件发生的概率很大，那发生这件事并不能带来太多信息；相反，如果一个事件发生的概率很小，那发生这件事可以带来比较多的信息。

现在我们再回顾一下最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）的基本思想。对于随机变量 ，直觉上，当 取到参数的真实值时，似然函数的值应该很大，最大似然估计的思想就是认为 当 取到参数的真实值时似然函数的值应该取到最大值，或者（对数）似然函数的一阶导数为0。

定义对数似然函数为 ，从而，其中是关于的导数。

根据上面的两段分析，如果非常接近于0，这将是意料之中的事情，因此样本没有带来太多关于参数的信息；相反，如果很大，或者说很大，那么样本就提供了比较多的关于参数的信息。所以，我们可以用来衡量提供的信息（information）。但是是个随机变量，于是我们就考虑的期望值。

于是就有了Fisher Information的定义（1）：

如果假设可以交换求导和积分的顺序，那么


容易看出，

所以Fisher Information的定义（1）可以改写成定义（2）：

（其中用到。）
注意到

因此

至此我们有了关于Fisher Information的第（3）个表达式：

综上所述，我们有三个办法来计算Fisher Information。实际上在大多数问题中，（3）将是最方便的。