python：距离实现综述

积累+学习

综述

所列的距离公式列表和代码如下：

• 闵可夫斯基距离(Minkowski Distance)
• 欧氏距离(Euclidean Distance)
• 曼哈顿距离(Manhattan Distance)
• 切比雪夫距离(Chebyshev Distance)
• 夹角余弦(Cosine)
• 汉明距离(Hamming distance)
• 杰卡德相似系数(Jaccard similarity coefficient)
• 皮尔逊相关系数(Pearson product-moment correlation coefficient)

读者可根据自己需求有选择的学习。因使用矢量编程的方法，距离计算得到了较大的简化。

其中欧氏距离与曼哈顿距离是比较常用的

欧氏距离

python 源码 - 三种实现

import numpy as np

vect1 = np.mat([1,2,3]);
vect2 = np.mat([2,3,4]);

dis = np.sqrt((vect1 - vect2) * (vect1 - vect2).T)

#sqrt(3)
print dis

dis = np.sqrt( np.sum( np.square(vect1 - vect2) ) )

print dis

dis = np.linalg.norm(vect1 - vect2)

print dis

曼哈顿距离(Manhattan Distance)

import numpy as np

vect1 = np.mat([1,2,3])
vect2 = np.mat([2,3,4])

dis = np.sum( np.abs(vect1-vect2) )

#3
print dis

夹角余弦（Cosine）

几何中夹角余弦可用来衡量两个向量方向的差异，机器学习中借用这一概念来衡量样本向量之间的差异

在二维空间中向量A( x1 , y1 )与向量B( x2 , y2 )的夹角余弦公式：

cos(θ)=x1x2+y1y2x21+y21‾‾‾‾‾‾‾√x22+y22‾‾‾‾‾‾‾√

两个n维样本点A( x11 , x12 ,…, x1n )与B( x21 , x22 ,…, x2n )的夹角余弦类似的，对于两个n维样本点A( x11 , x12 ,…, x1n )与B( x21 , x22 ,…, x2n )，可以使用类似于夹角余弦的概念来衡量它们间的相似程度。

cos(θ)=AB|A||B|

即

cos(θ)=∑nk=1x1kx2k∑nk=1x21k‾‾‾‾‾‾‾‾√∑nk=1x22k‾‾‾‾‾‾‾‾√

夹角余弦取值范围为[-1,1]。夹角余弦越大表示两个向量的夹角越小，夹角余弦越小表示两向量的夹角越大。当两个向量的方向重合时夹角余弦取最大值1，当两个向量的方向完全相反夹角余弦取最小值-1。

import numpy as np

vect1 = np.random.rand(4).astype(float)
vect2 = np.random.rand(4).astype(float)

print vect1
print vect2

print np.dot(vect1,vect2)/( np.linalg.norm(vect1) * np.linalg.norm(vect2) )

#方法二：根据scipy库求解
from scipy.spatial.distance import pdist
X=np.vstack([x,y])
d2=1-pdist(X,'cosine')

杰卡德相似系数(Jaccard similarity coefficient)

杰卡德相似系数

两个集合A和B的交集元素在A，B的并集中所占的比例，称为两个集合的杰卡德相似系数，用符号J(A,B)表示。

J(A,B)=|A∩B||A∪B|

杰卡德相似系数是衡量两个集合的相似度一种指标。

杰卡德距离

Jaccard距离用来度量两个集合之间的差异性，它是Jaccard的相似系数的补集，被定义为1减去Jaccard相似系数。

Jδ(A,B)=1−J(A,B)=|A∪B|−|A∩B||A∪B|

python实现

# coding=utf8

from __future__ import print_function

import numpy as np
from scipy.spatial.distance import pdist

x = np.random.random(10) > 0.5
y = np.random.random(10) > 0.5

x = np.asarray(x, np.int32)
y = np.asarray(y, np.int32)

# 方法一：根据公式求解
up = np.double(np.bitwise_and((x != y), np.bitwise_or(x != 0, y != 0)).sum())
down = np.double(np.bitwise_or(x != 0, y != 0).sum())
d1 = (up / down)

# 方法二：根据scipy库求解
X = np.vstack([x, y])
d2 = pdist(X, 'jaccard')

皮尔逊相关系数

Pearson product-moment correlation coefficient，又称作 PPMCC或PCCs, 文章中常用r或Pearson’s r表示。在统计学中，皮尔逊积矩相关系数（英语：Pearson product-moment correlation coefficient，又称作 PPMCC或PCCs, 文章中常用r或Pearson’s r表示）用于度量两个变量X和Y之间的相关（线性相关），其值介于-1与1之间。在自然科学领域中，该系数广泛用于度量两个变量之间的相关程度。它是由卡尔·皮尔逊从弗朗西斯·高尔顿在19世纪80年代提出的一个相似却又稍有不同的想法演变而来的。这个相关系数也称作“皮尔森相关系数r”。

定义：

cov(X,Y)=E[(x−μx)(y−μy)]=∑ni=1(Xi−X⎯⎯⎯)(Yi−Y⎯⎯⎯)n−1

Pearson相关系数公式如下：

ρ(x,y)=corr(x,y)=cov(x,y)σxσy=cov(x,y)D(x)‾‾‾‾√D(y)‾‾‾‾√=cos(x−x⎯⎯,y−y⎯⎯)

其实皮尔逊系数就是 向量标准化后的余弦夹角距离

标准化的意思是说, 对每个向量, 我先计算所有元素的平均值avg, 然后每个元素减去这个avg, 得到的这个向量叫做被标准化(也叫正规化)的向量. 基本上所有的机器学习, 数据挖掘用到向量的时候, 都要预处理做标准化.

我们观察皮尔逊系数的公式:

• 分子部分: 每个向量的每个数字要先减掉向量各个数字的平均值, 这就是在标准化.
• 分母部分: 两个根号式子就是在做取模运算, 里面的所有元素要减掉平均值, 其实也就是在做标准化.

# coding=utf8

from __future__ import print_function

import numpy as np
x=np.random.random(10)
y=np.random.random(10)

#方法一：根据公式求解
x_=x-np.mean(x)
y_=y-np.mean(y)
d1=np.dot(x_,y_)/(np.linalg.norm(x_)*np.linalg.norm(y_))

#方法二：根据numpy库求解
X=np.vstack([x,y])
d2=np.corrcoef(X)[0][1]

引用

（1）python 各类距离公式实现
（2）皮尔逊相关系数-知乎
（3）距离度量以及python实现