LeetCode笔记：494. Target Sum

问题：

You are given a list of non-negative integers, a1, a2, ..., an, and a target, S. Now you have 2 symbols + and -. For each integer, you should choose one from + and - as its new symbol.
Find out how many ways to assign symbols to make sum of integers equal to target S.
Example 1:

Input: nums is [1, 1, 1, 1, 1], S is 3.
Output: 5
Explanation:
-1+1+1+1+1 = 3
+1-1+1+1+1 = 3
+1+1-1+1+1 = 3
+1+1+1-1+1 = 3
+1+1+1+1-1 = 3
There are 5 ways to assign symbols to make the sum of nums be target 3.

Note:

1. The length of the given array is positive and will not exceed 20.
2. The sum of elements in the given array will not exceed 1000.
3. Your output answer is guaranteed to be fitted in a 32-bit integer.

大意：

给你一个非负整数组成的数组和目标数S。现在你有两个符号 + 和 - 。对每个整数，你要选择 + 和 - 之一作为它的符号。
寻找有多少种加符号的方式让这些整数的和为目标数S。
例1：

输入：nums 是 [1, 1, 1, 1, 1], S 是 3。
输出：5
解释：
-1+1+1+1+1 = 3
+1-1+1+1+1 = 3
+1+1-1+1+1 = 3
+1+1+1-1+1 = 3
+1+1+1+1-1 = 3
有五种加符号的方式让总和等于目标数3。

注意：

1. 给出的数组长度是证书且不超过20。
2. 给出的数组元素总和不超过1000。
3. 你输出的答案保证是32位int型的。

思路：

这个问题其实可以分解为两个问题：

1. 计算加上符号后正数或者负数之和应该为多少；
2. 用数组中的数有多少种方法可以加起来等于上面计算出的和。

对于第一个问题，我们来分析一下。由于只有正负两种符号，最后分配符号后数组中的元素可以分为整数之和与负数之和，他们两个相加等于目标数，即：

sum（正） - sum（负） = target

两边都加上同样的sum（正） + sum（负）：

sum（正） + sum（负） + sum（正） - sum（负） = target + sum（正） + sum（负）

化简得：

2 * sum（正） = target + sum（正） + sum（负） = target + sum（数组总和）

那么我们可以惊讶的得出一个结论，都加上符号后，所有正数的和等于目标数加上数组所有元素之和。通过这个公式我们首先可以简单的判断出找不到结果的情况，也就是数组总和小于目标数或者目标数加上数组所有元素之和除以2不能整除时，都无法找到分配符号的方法。而且最后所有分配了 + 的元素之和一定等于目标数加上数组所有元素之和的一半。

现在我们知道所有正数相加应该等于多少了，剩下的就是第二个问题，使用数组中的元素有多少种方法相加得到这个正数和？

这里我们用一种非常巧妙的记录方式：对于每个元素，我们看看他与正数和只差是多少，这个结果处有没有其余的元素，没有我们就减一看看有没有其他元素，没有继续减一，直到见到0，这时候其实就是它自己了。对下一个元素依然这样判断。我们用一个标记来记录从0到正数和之间每个数当前用别的元素相加后能得到的个数，最后遍历完所有元素后，看看正数和记录了多少种其余元素相加得到的次数，就是我们要的方法数了。

代码（Java）：

public class Solution {
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int s) {
        int sum = 0;
        for (int n : nums)
            sum += n;
        // 两种情况找不到结果，找得到的话就用subsetSum去找，证书和是(s + sum) >>> 1，也就是除以2
        return sum < s || (s + sum) % 2 > 0 ? 0 : subsetSum(nums, (s + sum) >>> 1); 
    }   

    public int subsetSum(int[] nums, int s) {
        int[] dp = new int[s + 1]; 
        dp[0] = 1;// 初始记录0的位置为1
        for (int n : nums)
            // 对每个元素，看看他现有能和别的元素相加得到哪些位置的数
            for (int i = s; i >= n; i--)
                dp[i] += dp[i - n]; 
        return dp[s];
    } 
}

合集：https://github.com/Cloudox/LeetCode-Record

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