牛客网在线编程专题《剑指offer-面试题9》斐波那契数列

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题目链接：

https://www.nowcoder.com/practice/c6c7742f5ba7442aada113136ddea0c3?tpId=13&tqId=11160&tPage=1&rp=1&ru=/ta/coding-interviews&qru=/ta/coding-interviews/question-ranking

题目描述：

解题思路：

（1）递归解法

此解法时间复杂度和空间复杂度都很大，时间复杂度为O()、空间复杂度为O(N)。

递归代码解法正确，但是在牛客网上这道题不能AC，原因是时间复杂度太高。

给出递归解法代码：

class Solution:
    def Fibonacci(self, n):
        # write code here
        if n == 0:
            return 0
        if n == 1:
            return 1
        return self.Fibonacci(n - 1) + self.Fibonacci(n - 2)

so = Solution()
print(so.Fibonacci(7))

（2）动态规划解法

方法一：时间复杂度为O(N)，空间复杂度为O(N)

已经AC的Java代码：

import java.util.Arrays;

public class fibonacci {

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		System.out.println(Fibonacci(7));
	}
	
    public static int Fibonacci(int n) {
    	if(n == 0)
    		return 0;
    	else if(n == 1 || n == 2)
    		return 1;
    	else {
        	int[] memo = new int[n+1];
        	Arrays.fill(memo, -1);
        	memo[0] = 0;
        	memo[1] = 1;
        	memo[2] = 1;
        	for(int i=3; i<=n; i++) {
        		if(memo[i] == -1)
        			memo[i] = memo[i-1] + memo[i-2];
        	}
        	return memo[n];
		}
    }

}

已经AC的Python代码：

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def Fibonacci(self, n):
        # write code here
        res = [0 for i in range(n + 1)]
        if n == 0:
            return 0
        if n == 1:
            return 1
        if n >= 2:
            res[0] = 0
            res[1] = 1
            for i in range(2, n + 1):
                res[i] = res[i - 1] + res[i - 2]

        return res[n]

方法二：时间复杂度为O(N)，空间复杂度为O(3)

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def Fibonacci(self, n):
        if n == 0:
            return 0
        if n == 1:
            return 1
        if n >= 2:
            a = 0
            b = 1
            c = 0
            for i in range(2, n + 1):
                c = a + b
                a = b
                b = c

            return c

（3）斐波那契的通项公式法，时间复杂度为O(1)

f(n) = closed - form solution

 已经AC的代码：

# -*- coding:utf-8 -*-
import math

class Solution:
    def Fibonacci(self, n):
        # write code here
        sqrtFive = math.sqrt(5)
        return sqrtFive / 5 * (math.pow(((1 + sqrtFive) / 2), n) - math.pow(((1 - sqrtFive) / 2), n))

思考题：斐波那契数的通项公式怎么得来的？

提示：转换成矩阵的连乘的形式，矩阵连乘可以简化（Matrix Decomposion）。fibonacci number closed form derivation。