【数据结构与算法】顺序表的实现

本文系在学习数据结构过程中做的笔记记录，主要参考书籍为《大话数据结构》《算法导论》，文中如有纰漏欢迎指正。

1-线性表的定义

线性表(List):零个或者多个数据元素的有限序列

用数学语言可以表述如下：
若线性表记为 $(a_1,\cdot \cdot \cdot ,a_{i-1},a_i,a_{i+1},\cdot \cdot \cdot ,a_n)$，则表中$a_{i-1}$领先于$a_i$，$a_i$领先于$a_{i+1}$，称$a_{i-1}$是$a_i$的直接前驱元素，$a_{i+1}$是$a_i$的直接后继元素。当$i=1，2，\cdot \cdot \cdot ,n-1$时，$a_i$有且仅有一个直接后继，当$i=2，3，\cdot \cdot \cdot ,n$时，$a_i$有且仅有一个直接前驱。 如下图所示：

图1 线性表图示

所以线性表元素的个数$n(n\ge 0)$定义为线性表的长度，当$n=0$时，称为空表。

2-线性表的抽象数据类型

线性表的抽象数据类型可以定义如下：

ADT 线性表(List)
Data
operation：
    InitList(*L) ://初始化操作，建立一个空的线性表L
    ListEmpty(L) ://若线性表为空，返回true，否则返回false
    ClearList(*L) ://将线性表清空
    GetElem(L, i, *e) : //将线性表L中的第i个元素返回给e
    LocateElem(L, e) : //在线性表中查找与指定元素e相等的元素，如果查找成功，返回元素在表中的序号；否则返回0表示失败
    ListInsert(*L, i, e) : //在线性表L中的第i个位置插入新元素e
    ListDelete(*L, i, e) : //删除线性表中第i个位置的元素，并用e返回其值
    ListLeng(L) : //返回线性表L的元素个数
endADT

对于不同的应用，线性表的基本操作是不同的，上述操作是最基本的，对于实际问题中涉及的关于线性表的更复杂的操作，可以利用这些基本操作的组合来实现。

3- 线性表的顺序存储结构

1-顺序存储的定义

• 线性表的顺序存储结构，指的是用一段地址连续的存储单元依次存储线性表的数据元素。

线性表$(a_1,\cdot \cdot \cdot ,a_{i-1},a_i,a_{i+1},\cdot \cdot \cdot ,a_n)$的顺序存储示意图如下：

图1 线性表顺序存储示意

2-顺序存储方式
因为线性表的每个数据元素的类型都相同，所以可以用一维数组来实现顺序存储结构，即把第一个数据元素存储到数组下标为0的位置中，接着把线性表相邻的元素存储在数组中的相邻的位置。
下面是线性表顺序存储结构代码:

#define MAXSIZE 20 //存储空间初始分配量
typedef int ElemType; //ElemType类型根据实际情况而定，这里假设为int
typedef struct
{
    ElemType data[MAXSIZE];//数组存储数据元素，最大值为MAXSIZE
    int length;//线性表当前长度
}Sqlist;    

这里需要注意顺序存储结构的3个属性：

• 存储空间的起始位置：数组data，它的存储位置就是存储空间的存储位置
• 线性表的最大存储容量：数组长度MAXSIZE
• 线性表的当前长度：length

线性表的长度时线性表中数据元素的个数，随着线性表插入和删除操作的进行，这个量是可以变化的，在任何时刻，线性表的长度应该小于等于数组的长度

3-地址计算方法
用数组存储顺序表意味着要分配固定的长度的数组空间，由于线性表中可以进行插入和删除操作，因此分配的数组空间要大于当前线性表的长度。
假设一个元素占用$c$个存储单元，那么线性表中第$i+1$个数据元素的存储位置和第$i$个元素的存储位置满足如下关系（$LOC$表示获得存储位置的函数）:$LOC(a_{i+1})=LOC(a_i)+c$，所以对第$i$个数据元素的存储位置可以用$a_1$推算出来：$LOC(a_{i+1})=LOC(a_1)+(i-1)\ast c$

图3 线性表顺序存储示意

4-顺序存储结构的插入与删除

1-获得元素操作
对于线性存储结构来说，如果我们要实现GetElem操作，即将线性表中第i个位置的元素值返回，下面是实现代码：

#define OK 1
#define ERROE 0
typedef int Status;
//Status是函数的类型，其值是函数结果状态代码，如OK等
//初始条件：顺序表 L 已经存在，1 ≤ i ≤ListLength(L)
//操作结果: 用 e 返回L中的第 i 个元素的值
Status GetElem(Sqlist L, int i, ElemType *e)
{
    if(L.length == 0 || i < 1 || i > L.length)     return ERROR;
    *e = L.data[i-1];
    return OK;
}

2-插入操作
插入算法的思路：

• 如果插入位置不合理，抛出异常
• 如果线性表长度大于或等于数组长度，则抛出异常或动态增加容量
• 从最后一个元素开始向前遍历到第 i 个位置，分别将它们都向后移动一个位置
• 将要插入元素填入位置 i 处
• 表长加 1

实现代码如下：

//初始条件：顺序表 L 已经存在，1 ≤ i ≤ListLength(L)
//操作结果: 在L中第 i 个位置之前插入新的数据元素e, L的长度加 1
Status ListInsert(Sqlist *L, int i, ElemType e)
{
    if(L->length == MAXSIZE)    return ERROR;//顺序表已填满
    if(i < 1 || i > L->length + 1)     return ERROR;//i 不在范围内
    if(i <= L->length){//插入数据不在表尾
        for(int k = L->length - 1; k >= i-1; k--){//将要插入位置后的元素向后移动一位
            L->data[k+1] = L->data[k];
        }
    }
    L->data[i] = e;//新元素插入
    L->length ++;
    return OK;
}

3-删除操作
删除算法的思路：

• 如果位置不合理，抛出异常
• 取出删除元素
• 从删除元素位置开始遍历到最后一个元素位置，分别将它们都向前移动一个位置
• 表长加 1

实现代码如下：

//初始条件：顺序表 L 已经存在，1 ≤ i ≤ListLength(L)
//操作结果: 删除L中的第 i 个元素， 并用e返回其值，L的长度减 1
Status ListDelete(Sqlist *L, int i, ElemType *e)
{
    if(L->length == 0)    return ERROR;//顺序表为空
    if(i < 1 || i > L->length)     return ERROR;//删除位置不正确
    *e = L->data[i - 1];
    if(i < L->length){//如果删除不是最后位置
        for(int k = i; k < L->length; k++){//将删除位置后继元素前移
            L->data[k-1] = L->data[k];
        }
    }
    L->length --;
    return OK;
}

5-优缺点

优点：

• 无须为表示表中的元素之间的逻辑关系增加额外的存储空间
• 可以快速地存取表中任一位置的元素

缺点：

• 插入和删除操作需要移动大量元素
• 当线性表长度变化较大时，难以确定存储空间的容量
• 造成存储空间的“碎片”

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