【机器学习】次梯度（subgradient）方法

次梯度方法(subgradient method)是传统的梯度下降方法的拓展，用来处理不可导的凸函数。它的优势是比传统方法处理问题范围大，劣势是算法收敛速度慢。但是，由于它对不可导函数有很好的处理方法，所以学习它还是很有必要的。

次导数

设f:I→R是一个实变量凸函数，定义在实数轴上的开区间内。这种函数不一定是处处可导的，例如最经典的例子就是，在处不可导。但是，从下图的可以看出，对于定义域内的任何，我们总可以作出一条直线，它通过点，并且要么接触f的图像，要么在它的下方。这条直线的斜率称为函数的次导数。

次导数与次微分(subdifferential)计算方式

凸函数f:I→R在点x0的次导数，是实数c使得： 

原导数计算公式为：

对该定义略作解释：

按照上面次导数对定义方式，次导数c应满足条件：

对于函数而言，只有在处不可导，即我们考虑在处的次导数：

很容易就可以得出：

接下来给出正宗的计算定义：

对于所有I内的x。我们可以证明，在点x0的次导数的集合是一个非空闭区间[a, b]，其中a和b是单侧极限 

它们一定存在，且满足a ≤ b。 
所有次导数的集合称为函数f在的次微分。

例如：考虑凸函数。在原点的次微分是区间[−1, 1]。时，次微分是单元素集合{-1}，而，则是单元素集合{1}。

次导数与次微分的一些性质

1. 凸函数f:I→R在可导，当且仅当次微分只由一个点组成，这个点就是函数在的导数。 
2. 点是凸函数f的最小值，当且仅当次微分中包含零，也就是说，在上面的图中，我们可以作一条水平的“次切线”。这个性质是“可导函数在极小值的导数是零”的事实的推广。

次梯度（subgradient）

到这里，我们总算是搞清楚次导数和次微分是什么东西了。

将次导数和次微分的概念推广到多元函数，就可以得到次梯度了。如果f:U→ R是一个实变量凸函数，定义在欧几里得空间内的凸集，则该空间内的向量v称为函数在点的次梯度，如果对于所有U内的x，都有： 

所有次梯度的集合称为次微分，记为。次微分总是非空的凸紧集。

此记法与前面的次导数记法极为相似。我们用更为常见的记法来定义次梯度：

次梯度（Subgradient）与梯度的概念类似，凸函数的First-order characterization(一阶特征描述)是指如果函数f可微，那么当且仅当为凸集，且对于，使得，则函数为凸函数。这里所说的次梯度是指在函数上的点满足以下条件的：

其中，函数不一定要是凸函数，非凸函数也可以，即对于凸函数或者非凸函数而言，满足上述条件的均为函数在该点的次梯度。但是，凸函数总是存在次梯度（可以利用epigraph和支撑平面理论证明），而非凸函数则不一定存在次梯度，即使可微。这里主要包含两层意思：1.用次梯度对原函数做出的泰勒一阶展开估计总是比真实值要小；2.次梯度可能不唯一。

很明显，凸函数的次梯度一定存在，如果函数在点处可微，那么，为函数在该点的梯度，且唯一；如果不可微，则次梯度不一定唯一。但是对于非凸函数，次梯度则不一定存在，也不一定唯一。例如，凸函数范数为凸函数，但不满足处处可微的条件，因此，函数的次梯度不一定唯一，如下图：

左一图为，函数在时，次梯度唯一，且；当时，次梯度为中的任意一个元素；

左二图为，函数在时，次梯度唯一，且；当时，次梯度为中的任意一个元素；

同样，绝对值函数和最大值函数在不可微点处次梯度也不一定唯一，如下图：

对于最大值函数而言，其在满足的点处，次梯度为任意一条直线在向量和之间。

同理，我们还可以给出在高维情形下次微分（subdifferential）的定义，即：

• 次微分是闭合且为凸集；

• 如果函数在点处可微，那么次微分等于梯度；

• 凸函数的次微分不为空，但非凸函数则不一定。

次梯度的性质

• Scalingf(数乘不变性)：；

• Addition(加法不变性)：；

• Affine composition(仿射特性)：如果，那么；

• Finite pointwise maximum(有限最大值)：如果，那么，意味着函数的次微分等于所有能取得最大值的函数在点处的微分，具体实例可参考之前提到的最大值函数部分。

为什么要计算次梯度？

在开头已经粗略的阐述了次梯度方法的使用情景，在这里在详细的复述一遍。

对于光滑的凸函数而言，我们可以直接采用梯度下降算法求解函数的极值，但是当函数不处处光滑、处处可微的时候，梯度下降就不适合应用了。因此，我们需要计算函数的次梯度。对于次梯度而言，其没有要求函数是否光滑，是否是凸函数，限定条件很少，所以适用范围更广。

次梯度具有以下优化条件（subgradient optimality condition）：对于任意函数（无论是凸还是非凸），函数在点处取得最值等价于：

即，当且仅当0属于函数在点处次梯度集合的元素时，为最优解。

这与之前所描述的次导数的性质相符合。

证明：

证明很简单，当次梯度时，对于所有，存在，所以，为最优解，即证。

次梯度算法

介绍完前面的基础知识，终于要开始介绍算法了～

经典梯度下降算法实际上是利用负梯度总是指向最小值点这一性质，然后每次迭代  ，  是一个很小的控制步进长度的数，可以是常量也可以是变量，迭代过程一直进行直到收敛。

次梯度算法（Subgradient method）与梯度下降算法类似，仅仅用次梯度代替梯度，即：

其中，，为在点处的次梯度。

与梯度下降算法不同的地方在于，次梯度算法并不是下降算法，每次对于参数的更新并不能保证代价函数是呈单调递减的趋势，因此，一般情况下我们选择：

另一点与梯度下降算法不同的是：次梯度算法没有明确的步长选择方法，类似Exact line search和Backtracking line search的方法，只有步长选择准则，具体如下：

• Fixed step sizes： ；
• Diminishing step sizes： 选择满足以下条件的:

Diminishing step sizes方法主要是保证步长逐渐变小，同时，变化幅度还不会特别快。这里需要注意的是，次梯度算法并不像梯度下降一样，可以在每一次迭代过程中自适应的计算此次步长（adaptively computed），而是事先设定好的（pre-specified）。

但是，很多人会提出这样一个问题，如果你不能保证次梯度是单调的，如何保证最后可以收敛？

定理：如果为凸函数，且满足Lipschitz continuous with G，如果固定步长为，那么次梯度算法满足：

 

lipschitz条件：

对于在实数集的子集的函数  ，若存在常数，使得  ，则称  符合利普希茨条件，对于  最小的常数 称为  的利普希茨常数。若  ，  称为收缩映射。

在高维情形下：

证明：

对于，，其中。因此，我们可以展开下式为：

因为，，且由凸函数一阶性质可得，上式不等式可以写为：

对于任意，求和上式可以获得：

因为，，所以：

如果令为迭代次内的最优解，那么，其中，，因此：

 

所以，我们可以得到

同时，因为函数满足Lipschitz continuous with G，所以，，即函数的次梯度。

综上所述，我们可以证明下式成立：

其中为初值与最优点之间的二范数距离。

当，既证上述定理成立。

此时，如果我们想要获得-最优解，则令，令等式的每一部分等于，则。

因此，次梯度的收敛速度为，跟梯度下降算法收敛速度相比，要慢许多。

下面是次梯度法的一般方法：

1. 选择有限的正的迭代步长 
2. 计算一个次梯度
3. 更新
4. 若是算法没有收敛，则返回第二步继续计算

次梯度方法性质：

1. 简单通用性：就是说第二步中，任何一个次梯度都是可以的。
2. 收敛性：只要选择的步长合适，总会收敛的。
3. 收敛慢：需要大量的迭代才能收敛。
4. 非单调收敛：不一定是下降方向，在这种情况下，不能使用线性搜索选择合适的。
5. 没有很好的停止准则。

对于不同步长的序列的收敛结果

不妨设是次迭代中的最优结果。

1).步长和不可消时（Non-summable diminishing step size）:

并且这种情况能够收敛到最优解：

2).Constant step size: 

，收敛到次优解：
3).Constant step length: 

，能够收敛到次优解
4).Polyak’s rule:

，若是最优值可知则可以用这种方法。

次梯度算法实例

A. Regularized Logistic Regression

对于逻辑回归的代价函数可记为：

明显，上式是光滑且凸的，而regularized problem则是指优化目标函数为：

如果，则成为岭回归（ridge problem），如果则称为Lasso回归。对于岭回归，我们仍然可以采用梯度下降算法求解目标函数，因为函数处处可导光滑，而Lasso问题则无法用梯度下降算法求解，因为函数不是处处光滑，具体可参考上面给出的Norm-1的定义，所以，对于Lasso问题需要选用次梯度算法求解。

下图是对于同样数据集下分别对逻辑回归选用岭惩罚和Lasso惩罚求解最优解的实验结果图（n=1000,p=20n=1000,p=20）：

B. 随机次梯度算法

上面讲到的次梯度算法梯度更新定义为：

随机次梯度算法（Stochastic Subgradient Method）与次梯度算法(Subgradient Method)相比，每次更新次梯度是根据某一个样本计算获得，而不是通过所有样本更新次梯度，其定义为：

其中，是第次迭代随机选取的样本。从该方法的定义，我们也可引出随机梯度下降算法（Stochastic Gradient Descent）的定义，即当函数可微连续时，。

所以，根据梯度更新的方式不同，次梯度算法和梯度下降算法一般被称为“batch method”。从计算量来讲，次随机更新近似等于一次batch更新，二者差别在于，当变化不大时，差别可以近似等于0。

对于随机更新次梯度，一般随机的方式有两种：

• Cyclic rule：选择；
• Randomized rule：均匀随机从选取一点作为。

与所有优化算法一样，随机次梯度算法能否收敛？

答案是肯定的，这里就不在做证明，有兴趣的同学可以参考boyd教授的论文，这里仅给出收敛结果，如下：

对于Cyclic rule，随机次梯度算法的收敛速度为；对于Randomized rule，随机次梯度算法的收敛速度为。

下图给出梯度下降和随机梯度下降算法在同一数据下迭代结果：

随机梯度下降一般有两个特性：

1. 通常下降的速度较batch方法要快。
2. 通常在最优点附近会来回震荡，相较于batch方法不够稳定。

 

参考文章：

凸优化-次梯度算法

优化中的subgradient方法

次导数 次梯度 小结

次梯度(Subgradient)

次梯度