动态规划算法
问题描述：给定n个矩阵：A1,A2,...,An，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2...，n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模，输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。
问题解析：由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。
完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：
（1）单个矩阵是完全加括号的；
（2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC)
例如，矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式：(A1(A2(A3A4)))，(A1((A2A3)A4))，((A1A2)(A3A4))，((A1(A2A3))A4)，(((A1A2)A3)A4)。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序，这决定着作乘积所需要的计算量。
看下面一个例子，计算三个矩阵连乘{A1，A2，A3}；维数分别为10*100 , 100*5 , 5*50 按此顺序计算需要的次数((A1*A2)*A3):10X100X5+10X5X50=7500次，按此顺序计算需要的次数(A1*(A2*A3)):10*5*50+10*100*50=52500次
所以问题是：如何确定运算顺序，可以使计算量达到最小化。
算法思路：
例：设要计算矩阵连乘乘积A1A2A3A4A5A6，其中各矩阵的维数分别是：
| A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 |
| 30*35 | 35*15 | 15*5 | 5*10 | 10*20 | 20*25 |
递推关系：
设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n]。
当i=j时，A[i:j]=Ai，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n
当i
综上，有递推关系如下：
构造最优解：
若将对应m[i][j]的断开位置k记为s[i][j]，在计算出最优值m[i][j]后，可递归地由s[i][j]构造出相应的最优解。s[i][j]中的数表明，计算矩阵链A[i:j]的最佳方式应在矩阵Ak和Ak+1之间断开，即最优的加括号方式应为(A[i:k])(A[k+1:j)。因此，从s[1][n]记录的信息可知计算A[1:n]的最优加括号方式为(A[1:s[1][n]])(A[s[1][n]+1:n])，进一步递推，A[1:s[1][n]]的最优加括号方式为(A[1:s[1][s[1][n]]])(A[s[1][s[1][n]]+1:s[1][s[1][n]]])。同理可以确定A[s[1][n]+1:n]的最优加括号方式在s[s[1][n]+1][n]处断开...照此递推下去，最终可以确定A[1:n]的最优完全加括号方式，及构造出问题的一个最优解。
1、穷举法
列举出所有可能的计算次序，并计算出每一种计算次序相应需要的数乘次数，从中找出一种数乘次数最少的计算次序。
对于n个矩阵的连乘积，设其不同的计算次序为P(n)。每种加括号方式都可以分解为两个子矩阵的加括号问题：(A1...Ak)(Ak+1…An)可以得到关于P(n)的递推式如下：
以上递推关系说明，P(n)是随n的增长呈指数增长的。因此，穷举法不是一个多项式时间复杂度算法。
2、重叠递归
//A1 30*35 A2 35*15 A3 15*5 A4 5*10 A5 10*20 A6 20*25
//p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}
#include "stdafx.h"
#include
using namespace std;
const int L = 7;
int RecurMatrixChain(int i,int j,int **s,int *p);//递归求最优解
void Traceback(int i,int j,int **s);//构造最优解
int main()
{
int p[L]={30,35,15,5,10,20,25};
int **s = new int *[L];
for(int i=0;i 3、动态规划实现
//3d1-2 矩阵连乘 动态规划迭代实现
//A1 30*35 A2 35*15 A3 15*5 A4 5*10 A5 10*20 A6 20*25
//p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}
#include "stdafx.h"
#include
using namespace std;
const int L = 7;
int MatrixChain(int n,int **m,int **s,int *p);
void Traceback(int i,int j,int **s);//构造最优解
int main()
{
int p[L]={30,35,15,5,10,20,25};
int **s = new int *[L];
int **m = new int *[L];
for(int i=0;i 4、备忘录方法
//3d1-2 矩阵连乘 备忘录递归实现
//A1 30*35 A2 35*15 A3 15*5 A4 5*10 A5 10*20 A6 20*25
//p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}
#include "stdafx.h"
#include
using namespace std;
const int L = 7;
int LookupChain(int i,int j,int **m,int **s,int *p);
int MemoizedMatrixChain(int n,int **m,int **s,int *p);
void Traceback(int i,int j,int **s);//构造最优解
int main()
{
int p[L]={30,35,15,5,10,20,25};
int **s = new int *[L];
int **m = new int *[L];
for(int i=0;i0)
{
return m[i][j];
}
if(i==j)
{
return 0;
}
int u = LookupChain(i,i,m,s,p) + LookupChain(i+1,j,m,s,p)+p[i-1]*p[i]*p[j];
s[i][j]=i;
for(int k=i+1; k 5、分析
用算法RecurMatrixChain(1,4,s,p)计算a[1:4]的计算递归树如下图所示：
从上图可以看出很多子问题被重复运算。可以证明，该算法的计算时间T(n)有指数下界。设算法中判断语句和赋值语句为常数时间，则由算法的递归部分可得关于T(n)的递归不等式：
用数学归纳法可以证明
，因此，算法RecurMatrixChain的计算时间也随n指数增长。
6、结果
