数据结构----关键路径详解
前言
Live beautifully, dream passionately, love completely.
Name：Willam
Time：2017/3/7
1、AOE-网介绍
我们在学习拓扑排序（如果没学，可以看看这篇博客：拓扑排序详解）的时候，已经接触了什么是AOV-网，AOV-网是优先考虑顶点的思路，而我们也同样可以优先考虑边，这个就是AOE-网的思路。
若在带权的有向无环图中，以顶点表示事件，以有向边表示活动，边上的权值表示活动的开销（如该活动持续的时间），则此带权的有向无环图称为AOE网。记住AOE-网只是比AOV-网多了一个边的权重，而且AOV-网一般是设计一个庞大的工程各个子工程实施的先后顺序，而我们的AOE-网就是不仅仅关系整个工程中各个子工程的实施的先后顺序，同时也关系整个工程完成最短时间。
因此，通常在AOE网中列出完成预定工程计划所需要进行的活动，每个活动计划完成的时间，要发生哪些事件以及这些事件与活动之间的关系，从而可以确定该项工程是否可行，估算工程完成的时间以及确定哪些活动是影响工程进度的关键。
AOE-网还有一个特点就是：只有一个起点（入度为0的顶点）和一个终点（出度为0的顶点），并且AOE-网有两个待研究的问题：
- 完成整个工程需要的时间
- 哪些活动是影响工程进度的关键
2、名词解释
- 关键路径：AOE-网中，从起点到终点最长的路径的长度（长度指的是路径上边的权重和）
- 关键活动：关键路径上的边
假设起点是vo，则我们称从v0到vi的最长路径的长度为vi的最早发生时间，同时，vi的最早发生时间也是所有以vi为尾的弧所表示的活动的最早开始时间，使用e（i）表示活动ai最早发生时间，除此之外，我们还定义了一个活动最迟发生时间，使用l（i）表示，不推迟工期的最晚开工时间。我们把e（i）=l（i）的活动ai称为关键活动，因此，这个条件就是我们求一个AOE-网的关键路径的关键所在了。
所以，我们现在要求的就是每弧所对应的e（i）和l（i），求这两个变量的公式是：
e(i)=ve(j)
l(i)=vl(k)-dut() 变量的介绍：
首先我们假设活动a（i）是弧<j,k>上的活动，j为弧尾顶点，k为弧头（有箭头的一边），
ve（j）代表的是弧尾j的最早发生时间，
vl（k）代表的是弧头k的最迟发生时间
dut（<j,k>）代表该活动要持续的时间，既是弧的权值好了，先在我们知道了求e（i）和l（i）就必须先知道各个顶点的ve和vl了，所以下面我们就来求每个顶点ve和vl。其中，我们要知道ve和vl是要分开来求的。
先求ve，从ve（0）=0开始往前推（其实就是从起点开始往后，求各个顶点最早发生时间），公式如下：
ve（j）=Max{ve{i}+dut（<i,j>）};
<i,j>属于T，j=1,2.....n-1，
其中T是所有以第j个顶点为头的弧的集合。n为顶点的个数
下面我们继续求：各个顶点的vl，vl是从vl（n-1）=ve（n-1）往后推进（其实就是从终点开始往前求各个顶点的最迟发生时间，其中终点的ve和vl是相等的）
vl（i）=Min{vl(j)-dut()}
<i,j>属于S，i=n-2,n-3.....0
其中，S是所有以第i个顶点为尾的弧的集合3、求关键路径的步骤
- 输入顶点数和边数，已经各个弧的信息建立图
- 从源点v1出发，令ve[0]=0;按照拓扑序列往前求各个顶点的ve。如果得到的拓扑序列个数小于网的顶点数n，说明我们建立的图有环，无关键路径，直接结束程序
- 从终点vn出发，令vl[n-1]=ve[n-1]，按逆拓扑序列，往后求其他顶点vl值
- 根据各个顶点的ve和vl求每个弧的e（i）和l（i），如果满足e（i）=l（i），说明是关键活动。
4、求关键路径的代码实现
- CriticalPath.h文件的代码：
/************************************************************/
/* 程序作者：Willam */
/* 程序完成时间：2017/3/6 */
/* 有任何问题请联系：[email protected] */
/************************************************************/
//@尽量写出完美的程序
#pragma once
//#pragma once是一个比较常用的C/C++杂注，
//只要在头文件的最开始加入这条杂注，
//就能够保证头文件只被编译一次。
/*
求解关键路径问题，
必须是有向无环图才有关键路径
*/
#include- CriticalPath.cpp文件的代码
#include"CriticalPath.h"
Graph_DG::Graph_DG(int vexnum, int edge) {
/*
初始化一些基本的信息，
包括边和顶点个数，各个顶点入度数组，邻接表的等
*/
this->vexnum = vexnum;
this->edge = edge;
this->arc = new Vnode[this->vexnum];
this->indegree = new int[this->vexnum];
this->ve = new int[this->vexnum];
this->vl = new int[this->vexnum];
for (int i = 0; i < this->vexnum; i++) {
this->indegree[i] = 0;
this->ve[i] = 0;
this->arc[i].firstarc = NULL;
this->arc[i].data = "v" + to_string(i + 1);
}
}
//释放内存空间
Graph_DG::~Graph_DG() {
ArcNode * p, *q;
for (int i = 0; i < this->vexnum; i++) {
if (this->arc[i].firstarc) {
p = this->arc[i].firstarc;
while (p) {
q = p->next;
delete p;
p = q;
}
}
}
delete[] this->arc;
delete[] this->indegree;
}
//判断我们每次输入的的边的信息是否合法
//顶点从1开始编号
bool Graph_DG::check_edge_value(int start, int end,int weight) {
if (start<1 || end<1 || start>vexnum || end>vexnum || weight < 0) {
return false;
}
return true;
}
void Graph_DG::createGraph() {
cout << "请输入每条边的起点和终点的编号（顶点从1开始编号）以及每条边的权重" << endl;
int count = 0; //记录初始化边的条数
int start, end, weight;
while (count != this->edge) {
cin >> start >> end >> weight;
while (!check_edge_value(start, end, weight)) {
cout << "输入的信息不合法，请重新输入：" << endl;
cin >> start >> end >> weight;
}
ArcNode * temp = new ArcNode;
temp->start = start-1;
temp->end = end-1;
temp->weight = weight;
temp->next = NULL;
//如果当前顶点的还没有边依附时，
++indegree[temp->end]; //对应的弧头的顶点的入度加1
if (this->arc[start - 1].firstarc == NULL) {
this->arc[start - 1].firstarc = temp;
}
else {
ArcNode * now = this->arc[start - 1].firstarc;
while (now->next) {
now = now->next;
}//找到该链表的最后一个结点
now->next = temp;
}
++count;
}
}
void Graph_DG::print() {
cout << "图的邻接表为：" << endl;
int count = 0;
while (count != this->vexnum) {
cout << this->arc[count].data << " ";
ArcNode * temp = this->arc[count].firstarc;
while (temp) {
cout << "<"
<< this->arc[temp->start].data
<< ","
<< this->arc[temp->end].data
<< ">="
<< temp->weight
<< " ";
temp = temp->next;
}
cout << "^" << endl;
++count;
}
}
bool Graph_DG::topological_sort() {
cout << "图的拓扑序列为：" << endl;
stack<int> s; //保存入度为0的顶点下标
ArcNode * temp;
int i;
for (i = 0; i < this->vexnum; i++) {
if (!indegree[i]) s.push(i); //入度为0 ，则入栈
}
//count用于计算输出的顶点个数
int count = 0;
while (!s.empty()) {//如果栈为空，退出循环
i = s.top(); //i等于栈顶的元素
s.pop();
cout << this->arc[i].data << " ";//输出拓扑序列
temp = this->arc[i].firstarc;
this->List.push(i);
while (temp) {
if (!(--indegree[temp->end])) {//如果入度减少到为0，则入栈
s.push(temp->end);
}
//同时更新ve的值
if ((ve[i] + temp->weight) > ve[temp->end]) {
ve[temp->end] = ve[i] + temp->weight;
}
temp = temp->next;
}
++count;
}
if (count == this->vexnum) {
cout << endl;
return true;
}
cout << "此图有环，无拓扑序列" << endl;
return false;//说明这个图有环
}
bool Graph_DG::CriticalPath() {
if (!this->topological_sort()) {
cout << "此图有环，无关键路径" << endl;
return false;
}
cout << "图的关键路径为：" << endl;
//初始化vl的值都为ve[this->vexnum-1]
int k;
for (k = 0; k < this->vexnum; k++) {
vl[k] = ve[this->vexnum - 1];
}
ArcNode * temp;
while (!this->List.empty()) {
k = List.top();//从逆拓扑排序开始，求vl
List.pop();
temp = this->arc[k].firstarc;
while (temp) {
//dutend>，从以第k个顶点为弧尾集合中选择一个最小的值
//来作为第i个顶点的最迟发生时间
if (vl[k] > (vl[temp->end] - temp->weight)) {
vl[k] = vl[temp->end] - temp->weight;
}
temp = temp->next;
}
}
int ee;
int el;
for (k = 0; k < this->vexnum; k++) {
temp= temp = this->arc[k].firstarc;
while (temp) {
ee = ve[k];
el = vl[temp->end] - temp->weight;
if (ee == el) {//这两个值相等，说明它为关键活动：
cout << this->arc[k].data
<< "----"
<< this->arc[temp->end].data
<< "="
<< temp->weight
<< endl;
}
temp = temp->next;
}
}
}- main.cpp文件的代码
#include"CriticalPath.h"
//检验输入边数和顶点数的值是否有效，可以自己推算为啥：
//顶点数和边数的关系是：((Vexnum*(Vexnum - 1)) / 2) < edge
bool check(int Vexnum, int edge) {
if (Vexnum <= 0 || edge <= 0 || ((Vexnum*(Vexnum - 1)) / 2) < edge)
return false;
return true;
}
int main() {
int vexnum; int edge;
cout << "输入图的顶点个数和边的条数：" << endl;
cin >> vexnum >> edge;
while (!check(vexnum, edge)) {
cout << "输入的数值不合法，请重新输入" << endl;
cin >> vexnum >> edge;
}
Graph_DG graph(vexnum, edge);
graph.createGraph();
graph.print();
graph.CriticalPath();
system("pause");
return 0;
}构造下图：
输入：
9 11
1 2 6
1 3 4
1 4 5
2 5 1
3 5 1
4 6 2
5 7 9
5 8 7
6 8 4
7 9 2
8 9 4输出：
从输出可以看出，这个图有两条关键路径：
第一条就是：
v1--v2--v5--v7--v9第二条是：
v1--v2--v5--v8--v9我们在构造下图的关键路径：
输入：
6 8
1 2 3
1 3 2
2 4 2
2 5 3
3 4 4
3 6 3
4 6 2
5 6 1输出：
从输出可以看出，这个图有一条关键路径：
v1--v3--v4--v6