高等数学一：函数与极限一：映射与函数知识点总结

一.映射

1.映射 

  两个非空集合，存在唯一法则，使得1号集合中元素与2号集合中元素按照该唯一法则，有着唯一对应的元素。

2.单射

  2号集合中有唯一的元素关于唯一法则与1号集合中唯一的元素一一对应。满足单射，也意味着存在逆映射。

3.满射

   2号集合中任何元素在1号集合中都存在对应的元素。

4.双射

   满足单射，也满足漫射

5.逆映射

  将2号集合中的元素反过来，按照唯一法则去对应1号集合中的元素

6.复合映射

  存在2个映射，1号映射中的2号集合真属于2号映射中的1号集合，则1号映射中的1号集合，存在某个唯一的法则，可以对应2号映射中的2号集合。则这两个映射，构成了复合映射。

二.函数

1.函数

   函数是映射的扩展，可以称1号集合到2号集合的映射，为一个以1号集合为定义域，2号集合为值域的一个函数。

2.简单函数例子

    1）分段函数

    2）绝对值函数

    3）符号函数

    4）取整函数

3.函数特性

    1）有界性

         存在f(x)的绝对值小于一个数M对于任何x都成立，则该函数有界。

         f(x)小于M对于任何x都成立，则有上界。

         f(x)大于M对于任何x都成立，则有上界。

    2）单调性

         存在x1

         存在x1>x2，也存在f(x1)>f(x2)，则函数单调减。

    3）奇偶性

         任一X属于定义域，存在f(x)=f(-x)，则为偶函数。

         任一X属于定义域，存在-f(x)=f(-x)，则为奇函数。

    4）周期性         

         任一X属于定义域，存在f(x+k)=f(x)，则为周期函数。k为函数的周期。

4.反函数

    由映射逆映射推广过来。

    将f(x)与x交换位置。求出f(x)关于x的函数，就可以。

    f(x)为单调函数，可以证明其反函数也是一样的单调函数。

5.复合函数

    复合映射的特例。

    1号函数的值域真属于2号函数的定义域，则若将1号函数的值域放入2号函数作定义域。如 f(g(x))。则可以称这个函数为复合函数。

6.初等数学中的函数（基本初等函数）

    幂函数

    指数函数

    对数函数

    三角函数

    反三角函数

7.初等函数

    由常数和基本初等函数构成的函数称为初等函数。