KMP算法简解：两张图彻底看懂

网上有很多关于讲解KMP算法的文章，很多都用了具体的例子，但本文只需要两张抽象图，即可快速理解KMP算法。

在理解了BF算法之后，我们发现因为模式串指针的每次复位，都可能造成不必要的某段匹配，这就需要某种策略，来使模式串指针跳过这段匹配，KMP算法应运而生。以下以一张图来解释KMP算法的基本原理（改自“数据结构（C++语言版），邓俊辉著”）：

如图，KMP基本策略是当文本串T与模式串P在i位置处失配，则指针j用t来替代，即失配字符P[j]用P[t]来替代， z继续与x比较，比较结果目前未知，但可以确定的是，z之前的字符串是不必比较的，也即S1=S3。此策略，相当于指针i不动，P向右滑动了一段距离，使z与x对齐，而滑动距离显然是j-t。显然，S3和S2都是P的前t个字符组成的串，则S1=S2=S3，于是S2可作为S4的前缀，S3可作为S4的后缀，而指针j已知，于是滑动距离j-t只取决于S4相等的前后缀的长度t，而与T无关。

S4可能有多个相等的前后缀，也即S4可以有多个t，如何在S4中选取最佳的t呢？实验表明，t取最大时最佳，也就是滑动距离j-t最小时，指针i不可能回溯，也不可能遗漏任何可能的匹配。于是我们将在P每次失配时的子串S4中取最佳的t组成一张表，即用一个称作next的数组来存储，当P的j位置失配，j就可用next[j]来替代，继续与T[i]比较，于是KMP算法可描述如下：

int KMP(char* P,char* T){
	int n=strlen(T),i;//文本串，指针 
	int m=strlen(P),j;//模式串，指针 
	int* next=bulidNext(P);//获得next表 
	while(i

相较于BF算法，i无需回溯，j需要判定是否为负，后者正是基于next数组的特性，当P在j=0处失配时，P[0,j)，不妨沿用之前的名字S4，S4之前已没有任何字符可选作新的比较字符，故可假想地在S4之前设置一个哨兵P[-1]，该字符与文本串任一字符都匹配，于是j=p[j]=-1，P[j]与文本串中的失配字符匹配，于是i和j指针统一向前移动一个单位。换句话说，当P在j=0处失配说明已经匹配到头了，需要在失配字符的下一位置重新开始比较。

既然next[0]=-1，那么next数组的其他值又如何计算呢？首先，next数组的值是P每次失配时S4的相等前后缀的最大长度，这个求相等前后缀的过程，其实就是S4自身的前后缀自匹配的过程，若匹配成功则前后缀相等，而S4是P的一个子串，故求next数组，就是求不断地对P进行自匹配的过程，于是可画出下图：

如上图，当P在j处失配，则可像P与T匹配时那样通过next[j]来获取下一次匹配位置，以下前后缀最大长度简称最大长度。获得next[j]后，对比第1张图，它就是S的最大长度t，而若P在j+1处失配，则需从S再加一个字符x组成的字符串中取最大长度next[j+1]，而此长度最多是S的最大长度next[j]再+1，也就是说，next[j+1]<=next[j]+1。当此式取等号时，next[j+1]也就是S的最大长度t+1。此时P[j]与P[t]相等，即z归入S2。

当P[j]与P[t]不等时，如何求next[j+1]？显然，此时相当于t失配，则再次通过next数组获得next[t]，若next[t]==t，则next[j+1]=next[t]+1=next[next[j]]+1，若next[t]!=t，则按上述方法以此类推，即next[j+1]=next[…next[j]…]+1，直到P[j]==P[t]的情况出现，包括t=-1的情况。

总的来说，对于位置P[j+1]之前的串中的最大前后缀长度会因j位置的失配不断减少，过程中不断令j=next[j]，直到有一个字符与P[j]匹配，那么next[j+1]随即确定，这样便确定了一个位置上的next值，而要确定所有位置上的next值，需让j从0开始一直判定到m-2，m-2的next值确定，m-1的next值也随即确定，构造next数组的算法可描述如下：

int* bulidNext(char*P){
	int m=strlen(P),j=0;//j指示模式串位置 
	int *N=new int[m],t=-1;//t指示next数组位置，也可理解为指示复制模式串位置 
	N[0]=-1;//初始化，N[0]=-1
	while(j

上述算法看似完美，然而还有待改进的地方，因实验表明，当p[j]==p[t]时，若p[j+1]==p[t+1]，会增加多次注定失败的比对，故可在p[j]==p[t]时，在j和t自增后，再次判定p[j]!=p[t]，若成立，则正常赋值，若不成立，再令t=next[t]。具体做法是将原语句“N[j]=t”改为“N[j]=(P[j]!=P[t]?t:N[t])”