google kick start 2019 round C Catch Some

当当当，来更新，把本次kick start的三道题都补完了。回过头来发现，虽然没有我没有听过的算法，可是当时做的时候，确实是一个算法都没有想起来。看来，我的算法实力还是很弱，继续努力吧~

本道题考的是分组背包，但是还是不是单纯的板题，有一个坑需要通过在dp中加一维标志位来解决。废话不多说，上题。

【题意】一个人，一条街，N条狗。街用一维数组表示，人住在位置0，狗的位置可以是1,2,3，...。同一个位置可以有多条狗，每个狗有颜色。人穿带颜色的衣服，穿什么颜色的衣服就只能观察什么颜色的狗，如果想要观察和自己衣服颜色不同的狗，需要回家换衣服。人一开始在家中，每走一格耗费时间为1，观察狗和在家中换衣服不需要耗费时间。问这个人想要观察K条狗，至少需要耗费多少时间（注意，人在观察完最后一条狗时，不需要回家）。

【输入】第一行，T，代表用例个数。每个用例的第一行为N，K。N代表有多少条狗，K代表要观察多少条狗。第二行为N条狗的位置（乱序），第三行为N条狗对应的颜色（不一定从1开始）。

【输出】输出所需的最少时间

【小用例】

【input】

3
4 3
1 2 4 9
3 3 2 3
4 3
1 2 3 4
1 8 1 8
6 6
4 3 3 1 3 10000
1 2 8 9 5 7

【output】

Case #1: 8
Case #2: 6
Case #3: 10028

【解题思路】

#-------------------------------------------  我之前的暴力思路，可略过 ------------------------------------------------------------------------------------

我首先想到的暴力的思路就是使用dp[i][k]代表到以位置i结尾，观察k条狗，所需要的最短路程，我们用color[i]表示第i个的狗的颜色，pos[i]代表第i个狗的位置，状态转移为：

if color[i]==color[i-1]: dp[i][k] = min(dp[i][k], dp[j][k-1] + pos[i] - pos[j])

else: dp[i][k] = min(dp[i][k], dp[j][k-1] + pos[i] + pos[j])

但是，这样时间复杂度不够，是一个O（N^3）的算法，我们要找的是O（N^2）的算法。

我们看一下，多了哪一维，dp[i][j]是代表以位置i结尾，这就多记录了一个信息，如果代表的是前i个，这样就可以去掉一维，但是这样又不能记录颜色信息。因此，这里的i不能代表位置，要代表颜色。

以上就是我的想法，但是如果按照老的思路的话，还是一个O（N^3）的算法，我就想不下去了。在这里，我忽略了一个关键的因素。就是同一种颜色不同方案之间的不可重复性。

#  -------------------------------------------------------正解思路--------------------------------------------------------------------------------------------------

对于某一种颜色（拿红色举例）来说，选择几条狗是我们的方案，观察完w条红色狗（w=0,1,2,3，...）所需要的时间可以看做是价值。对于红色的狗，我们只能选一种方案。也就是说，我们不能先观察3条红色的狗，再回家换衣服，观察绿色的狗，然后再换衣服，观察4条红色狗，因为这样的方案，一定不如直接观察7条红色的狗时间短。

因此，就转化成了一个分组背包问题，每种颜色的狗是一组，每组中，我们选择一种方案（选择观察前几条狗，这里的前面，指的是离家的远近）。dp[i][k]代表，组合到第i种颜色，观察k条狗，最短的时间；bag[i][w]代表对于颜色i，观察w条狗的最短距离（包含回家）,num[i]代表颜色为i的狗的数量。最终的输出，为dp[C][K]。看一下状态转移：

dp[i][k] = min(dp[i][k], dp[i-1][k-w] +bag[i][w]) （w:1...min(K, num[i])）

需要注意的是，人最后不用回家。我的第一想法是，按照之前做过的homework的题，通过反推（dp[i][k] == dp[i-1][k-w]+bag[i][w]）来实现，然后选最大的bag[i][w]就可以了。

这样的一个问题是，我们选择的dp[C][K]是包含回家的最优方法，并不是最后不用回家的最优方案。举个例子：

1
5 3
4 1 1 1 3
1 1 3 4 1

dp[C][K] = 6，选择观察第2,3,4条狗，最后一条狗不用回家，因此，答案为5.

但是，有更优的方案。如果选择官场第1,2,5条狗的话，虽然dp[C][K]为8>6，但是最终的答案为4。

可以看出，如果仅通过上述的状态设计，我们没法求出最优的方案。

其实，我们的状态缺了是否已经选择结束的标志位。dp[i][k][0]代表到第i种颜色，观察k条狗，观察完毕的最少时间。dp[i][k][1]代表尚未观察结束。状态转移为(伪代码)：

dp[i][k][1] = min(dp[i][k][1], dp[i - 1][k - w][1] + bag[i][w]);
dp[i][k][0] = min(dp[i][k][0], dp[i - 1][k - w][1] + bag[i][w] / 2,dp[i - 1][k - w][0] + bag[i][w]);
我们最终的答案为dp[C][K][0]

最后要注意的是， 颜色没有从1开始按顺序排列，所以要使用map映射一下，就ok了

【AC代码】

// ConsoleApplication3.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
//

#include
#include
#include
#include
#include