求矩阵的幂的一个好方法

设 $\dps{A=\sex{\ba{ccc}1&0&0\\ -1&0&1\\ 0&1&0\ea}}$, 求 $A^{100}$.

解答: 易知 $A$ 的特征多项式为 $f(\lambda)=|\lambda E-A|=(\lambda+1)(\lambda -1)^2$. 由 Hamilton-Caylay 定理, $$\bex f(A)=(A+E)(A-E)^2=0. \eex$$ 对 $g(\lambda )=\lambda ^{100}$, 由多项式的带余除法知 $$\bex g(\lambda )=q(\lambda )f(\lambda )+a\lambda ^2+b\lambda +c. \eex$$ 将 $\lambda=-1$, $\lambda =1$ 代入上式, 将 $\lambda =1$ 代入上式求导后的等式, 得 $$\bex a-b+c=1,\quad a+b+c=1,\quad 2a+b=100. \eex$$ 于是 $$\beex \bea &\quad a=50,\quad b=0,\quad c=-49\\ &\ra A^{100}=g(A)=50A^2-49E=\sex{\ba{ccc} 1&0&0\\ -50&1&0\\ -50&0&1 \ea}. \eea \eeex$$